UA MATH563 概率論的數學基礎 鞅論初步8 鞅收斂定理

一個不願透露姓名的孩子發表於2020-12-06
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UA MATH563 概率論的數學基礎 鞅論初步8 鞅收斂定理

上一講我們定義了停時，並引入了鞅收斂定理，這一講我們完成鞅收斂定理的證明，並完成上一講的例題。

鞅收斂定理 假設 { X n } \{X_n\} {Xn​}是一個 { F n } \{\mathcal{F}_n\} {Fn​}上的submartingale，且滿足 sup ⁡ n E X n + < ∞ \sup_n EX_n^+<\infty supn​EXn+​<∞，則 X n → X , a . s X_n \to X,a.s Xn​→X,a.s，並且 E ∣ X ∣ < ∞ E|X|<\infty E∣X∣<∞。

推論 如果 X n X_n Xn​是一個非負supermartingale，則 X n → X X_n\to X Xn​→X a.s. 並且 E X ≤ E X 0 EX \le EX_0 EX≤EX0​。

證明

第一部分：我們先假設鞅收斂定理成立，然後論述推論。

如果 X n X_n Xn​是一個非負supermartingale，則 − X n -X_n −Xn​是一個submartingale，並且因為 X n ≥ 0 X_n \ge 0 Xn​≥0, 則 ( − X n ) + = 0 (-X_n)^+=0 (−Xn​)+=0，所以 sup ⁡ n E [ ( − X n ) + ] = 0 < ∞ \sup_nE[(-X_n)^+]=0<\infty supn​E[(−Xn​)+]=0<∞, 根據鞅收斂定理， − X n → Y -X_n \to Y −Xn​→Y a.s., ∃ Y \exists Y ∃Y such that E ∣ X ∣ < ∞ E|X|<\infty E∣X∣<∞。根據supermartingale的性質，
E [ X 0 ] ≥ E [ X n ] , ∀ n E[X_0] \ge E[X_n],\forall n E[X0​]≥E[Xn​],∀n

因此根據Fatou引理
E [ X 0 ] ≥ lim inf ⁡ E [ X n ] ≥ E [ lim inf ⁡ X n ] = E [ lim ⁡ X n ] = E [ X ] E[X_0] \ge \liminf E[X_n] \ge E[\liminf X_n]=E[\lim X_n]=E[X] E[X0​]≥liminfE[Xn​]≥E[liminfXn​]=E[limXn​]=E[X]

第二部分：證明鞅收斂定理中幾乎必然收斂的部分。

先回顧一下證明過程中需要的結果
Doob’s inequality (Upcrossing Inequality) 假設 { X n } \{X_n\} {Xn​}是一個 { F n } \{\mathcal{F}_n\} {Fn​}上的submartingale， a < b a<b a<b， N 0 = − 1 N_0=-1 N0​=−1,
N 1 = inf ⁡ { m > N 0 : X m ≤ a } N 2 = inf ⁡ { m > N 1 : X m ≥ b } ⋯ N 2 k − 1 = inf ⁡ { m > N 2 k − 2 : X m ≤ a } N 2 k = inf ⁡ { m ≥ N 2 k − 1 : X m ≥ b } N_1=\inf\{m>N_0:X_m \le a\} \\ N_2 = \inf\{m >N_1:X_m \ge b\} \\ \cdots \\ N_{2k-1} = \inf\{m>N_{2k-2}:X_m \le a\} \\ N_{2k} = \inf\{m \ge N_{2k-1}:X_m \ge b\} N1​=inf{m>N0​:Xm​≤a}N2​=inf{m>N1​:Xm​≥b}⋯N2k−1​=inf{m>N2k−2​:Xm​≤a}N2k​=inf{m≥N2k−1​:Xm​≥b}

定義
U n = sup ⁡ { k : N 2 k ≤ n } U_n = \sup\{k:N_{2k} \le n\} Un​=sup{k:N2k​≤n}

則
( b − a ) E U n ≤ E [ ( X n − a ) + ] − E [ ( X 0 − a ) + ] (b-a)EU_n \le E[(X_n-a)^+]-E[(X_0-a)^+] (b−a)EUn​≤E[(Xn​−a)+]−E[(X0​−a)+]

下面我們來證明鞅收斂定理。為了使用Upcrossing，我們需要構造一些結構：

{ w : lim inf ⁡ X n ( w ) < lim sup ⁡ X n ( w ) } = ⋃ a < b { w : lim inf ⁡ X n ( w ) < a < b < lim sup ⁡ X n ( w ) } \{w:\liminf X_n(w)<\limsup X_n(w)\} \\ = \bigcup_{a<b}\{w:\liminf X_n(w)<a<b<\limsup X_n(w)\} {w:liminfXn​(w)<limsupXn​(w)}=a<b⋃​{w:liminfXn​(w)<a<b<limsupXn​(w)}

其中 { w : lim inf ⁡ X n ( w ) < a < b < lim sup ⁡ X n ( w ) } \{w:\liminf X_n(w)<a<b<\limsup X_n(w)\} {w:liminfXn​(w)<a<b<limsupXn​(w)}表示的事件是 X n X_n Xn​從 a a a以下穿過到 b b b以上無數次的事件的子集。

然後我們再分析一下Upcorssing不等式，
( b − a ) E U n ≤ E [ ( X n − a ) + ] − E [ ( X 0 − a ) + ] ⇒ E U n ≤ E [ ( X n − a ) + ] − E [ ( X 0 − a ) + ] b − a ⇒ E U n ≤ E [ ( X n − a ) + ] b − a ≤ E [ X n ] + + ∣ a ∣ b − a (b-a)EU_n \le E[(X_n-a)^+]-E[(X_0-a)^+] \\ \Rightarrow EU_n \le \frac{E[(X_n-a)^+]-E[(X_0-a)^+] }{b-a} \\ \Rightarrow EU_n \le \frac{E[(X_n-a)^+]}{b-a} \le \frac{E[X_n]^++|a|}{b-a} (b−a)EUn​≤E[(Xn​−a)+]−E[(X0​−a)+]⇒EUn​≤b−aE[(Xn​−a)+]−E[(X0​−a)+]​⇒EUn​≤b−aE[(Xn​−a)+]​≤b−aE[Xn​]++∣a∣​

根據 U n U_n Un​的定義， U n ↑ U U_n \uparrow U Un​↑U，這裡 U U U表示整個序列的upcrossing的次數。根據控制收斂定理，
E U n ↑ E U ≤ sup ⁡ n E [ X n ] + + ∣ a ∣ b − a EU_n \uparrow EU\le \frac{\sup_nE[X_n]^++|a|}{b-a} EUn​↑EU≤b−asupn​E[Xn​]++∣a∣​

我們假設了 sup ⁡ n E X n + < ∞ \sup_n EX_n^+<\infty supn​EXn+​<∞，因此 E U < ∞ , a . s . EU<\infty,a.s. EU<∞,a.s.。我們可以進一步得到（可以用反證法驗證）
P ( { w : lim inf ⁡ X n ( w ) < a < b < lim sup ⁡ X n ( w ) } ) = 0 P(\{w:\liminf X_n(w)<a<b<\limsup X_n(w)\})=0 P({w:liminfXn​(w)<a<b<limsupXn​(w)})=0

因此
P ( lim inf ⁡ X n ( w ) = lim sup ⁡ X n ( w ) ) = 1 P(\liminf X_n(w)=\limsup X_n(w))=1 P(liminfXn​(w)=limsupXn​(w))=1

所以 X n → X X_n \to X Xn​→X a.s.，這裡 X X X是某個隨機變數。

第三部分：證明極限可積， E ∣ X ∣ < ∞ E|X|<\infty E∣X∣<∞。

根據Fatou引理，
E X + ≤ lim inf ⁡ E X n + ≤ sup ⁡ n E X n + < ∞ EX^+ \le \liminf EX_n^+ \le \sup_n EX_n^+<\infty EX+≤liminfEXn+​≤nsup​EXn+​<∞

因為 E X n − = E X n + − E X n ≤ E X n + − E X 0 EX_n^- = EX_n^+-EX_n \le EX_n^+ - EX_0 EXn−​=EXn+​−EXn​≤EXn+​−EX0​，根據Fatou引理，
E X − ≤ lim inf ⁡ E X n − ≤ sup ⁡ n E X n + + E X 0 < ∞ EX^- \le \liminf EX_n^- \le \sup_n EX_n^+ +EX_0<\infty EX−≤liminfEXn−​≤nsup​EXn+​+EX0​<∞

因此 E ∣ X ∣ = E X + + E X − < ∞ E|X| = EX^++EX^-<\infty E∣X∣=EX++EX−<∞。

例 Branching Process
假設 ξ i j \xi_{ij} ξij​是互相獨立的取值為自然數的隨機變數， P ( ξ i j = k ) = p k , ∀ k ≥ 0 P(\xi_{ij}=k)=p_k,\forall k \ge 0 P(ξij​=k)=pk​,∀k≥0，記 m = ∑ k ≥ 0 k p k m = \sum_{k \ge 0}kp_k m=∑k≥0​kpk​，定義 X n = ∑ i = 1 X n − 1 ξ i n ,    X 0 = a X_n = \sum_{i=1}^{X_{n-1}}\xi_{in},\ \ X_0=a Xn​=i=1∑Xn−1​​ξin​,  X0​=a

在這個設定中，我們可以把 ξ i j \xi_{ij} ξij​的下標 i i i理解為第 i i i戶， j j j理解為第 j j j代， ξ i j \xi_{ij} ξij​表示第 i i i戶、第 j j j代有幾個娃，則 X n X_n Xn​的含義可以是某家族第 n n n代的總人口數， m m m表示平均每一代每一戶有幾個娃。

問題1：第 n n n代平均有多少人？
E [ X n ] = E [ ∑ i = 1 X n − 1 ξ i n ] = E [ E [ ∑ i = 1 X n − 1 ξ i n ∣ X n − 1 ] ] = E [ m X n − 1 ] E[X_n]=E \left[ \sum_{i=1}^{X_{n-1}}\xi_{in} \right] = E \left[ E\left[ \sum_{i=1}^{X_{n-1}}\xi_{in} | X_{n-1} \right]\right] = E[ mX_{n-1}] E[Xn​]=E[i=1∑Xn−1​​ξin​]=E[E[i=1∑Xn−1​​ξin​∣Xn−1​]]=E[mXn−1​]

於是我們有了一個遞推式：
E [ X n ] = m E [ X n − 1 ] E[X_n]=mE[X_{n-1}] E[Xn​]=mE[Xn−1​]

所以
E [ X n ] = a m n E[X_n]=am^n E[Xn​]=amn

這個結果能給我們下面幾條啟發：

  1. 在這個模型下，如果 m < 1 m<1 m<1，這個家族第 n n n代期望人口歸零，當 n n n足夠大的時候；
  2. 如果 m > 1 m>1 m>1，這個家族期望人口將指數增長；
  3. 如果 m = 1 m=1 m=1，這個家族期望人口保持不變

問題2： X n X_n Xn​是鞅嗎？
定義 Z n = X n / m n Z_n=X_n/m^n Zn​=Xn​/mn， F n = σ { ξ i j : j ≤ n } \mathcal{F}_n=\sigma\{\xi_{ij}:j \le n\} Fn​=σ{ξij​:j≤n}，則 ( Z n , F n ) (Z_n,\mathcal{F}_n) (Zn​,Fn​)是一個鞅，因為
E [ Z n + 1 ∣ F n ] = E [ ∑ i = 1 X n ξ i , n + 1 / m n ∣ F n ] = m X n m n + 1 = Z n E[Z_{n+1}|\mathcal{F}_n] = E \left[ \sum_{i=1}^{X_n}\xi_{i,n+1} /m^n|\mathcal{F}_n\right] = \frac{mX_n}{m^{n+1}} = Z_n E[Zn+1​∣Fn​]=E[i=1∑Xn​​ξi,n+1​/mn∣Fn​]=mn+1mXn​​=Zn​

根據鞅收斂定理， ∃ W ≥ 0 , a . s . \exists W \ge 0 ,a.s. ∃W≥0,a.s.， W W W可積，並且
Z n → W Z_n \to W Zn​→W

問題3：論述 m < 1 m<1 m<1時這個家族消亡的概率為1
根據Markov不等式，
P ( X n ≥ 1 ) ≤ E X n = a m n P(X_n \ge 1) \le EX_n = am^n P(Xn​≥1)≤EXn​=amn

因此，根據Borel-Cantelli引理，
P ( X n ≥ 1   i . o . ) = 0 ⇔ P ( X n = 0   e . v . ) = 1 P(X_n \ge 1\ i.o.)=0 \\ \Leftrightarrow P(X_n =0 \ e.v.)=1 P(Xn​≥1 i.o.)=0⇔P(Xn​=0 e.v.)=1

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