UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理15 Kolmogorov 0-1律

如果是初見的話會覺得Kolmogorov 0-1律看上去很奇怪，但它在概率論中有很廣泛的應用，這一講我們簡單介紹一下Kolmogorov 0-1律。

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假設 { X j } j ≥ 1 \{X_j\}_{j \ge 1} {Xj​}j≥1​是$(\Omega ,\mathcal{F},P)$上的一列實值隨機變數，定義
F n = σ { X n + 1 , X n + 2 , ⋯   } \mathcal{F}_n = \sigma\{X_{n+1},X_{n+2},\cdots\} Fn​=σ{Xn+1​,Xn+2​,⋯}

定義tail $\sigma$-代數為
$$\tau ={\cap }_{n\ge 1}{\mathcal{F}}_n$$

稱$\tau$中的事件為tail event，稱$\tau$-可測的隨機變數為tail random variable。

例 考慮下列事件是否是tail event：$B_n\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$

1. { w ∈ Ω : ∑ j ≥ 1 X j ( w )   c o n v e r g e s } \{w \in \Omega:\sum_{j \ge 1}X_j(w)\ converges\} {w∈Ω:∑j≥1​Xj​(w) converges}
2. { w ∈ Ω : ∑ j ≥ 1 X j ( w ) = 2 } \{w \in \Omega:\sum_{j \ge 1}X_j(w)=2\} {w∈Ω:∑j≥1​Xj​(w)=2}
3. { w ∈ Ω : ∃ lim ⁡ n X n ( w ) } \{w \in \Omega:\exists \lim_{n}X_n(w)\} {w∈Ω:∃limn​Xn​(w)}
4. { w ∈ Ω : X n ( w ) ∈ B n   i . o . } \{w \in \Omega:X_n(w) \in B_n\ i.o.\} {w∈Ω:Xn​(w)∈Bn​ i.o.}
5. { w ∈ Ω : X n ( w ) ∈ B n   e . v . } \{w \in \Omega:X_n(w) \in B_n\ e.v.\} {w∈Ω:Xn​(w)∈Bn​ e.v.}
6. { w ∈ Ω : lim ⁡ n S n ( w ) / n = 4 } \{w \in \Omega:\lim_n S_n(w)/n=4\} {w∈Ω:limn​Sn​(w)/n=4}

先說答案，除了第二個不是tail event，其他的都是tail event。有一種比較直觀的方法是看事件是否受到$X_1$或者$X_1,\cdots ,X_c$的影響，$c<<n$，比如第二個事件中的級數顯然是每一項都非常重要，2的值主要是由前幾項給出來的，後續的無窮項都為0，第一項與第二項的區別在於第一項只要求級數收斂，而不需要給定級數的值，因此按照級數收斂性的判定，它與前幾項並無關係。其他事件與前幾項都無關係，比如第三項和第六項的極限，極限討論的就是尾部性質，所以自然是尾部事件，第四項與第五項根據定義就知道與前幾項無關。

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Kolmogorov 0-1律
假設 { X j } j ≥ 1 \{X_j\}_{j \ge 1} {Xj​}j≥1​獨立，則$\tau$是一個trivial $\sigma$-代數，即
$$\forall A\in \tau ,P(A)=0or1$$

評述
回顧一下強大數定律(Kolmogorov)，假設$X_1,\cdots ,X_n,n\ge 1$是iid的隨機變數，$E|X_1|<\infty$，則
$$\bar{X}{\to }_{as}E{X}_1$$

記 A = { w ∈ Ω : S n ( w ) / n → E X 1 } A = \{w \in \Omega:S_n(w)/n \to EX_1\} A={w∈Ω:Sn​(w)/n→EX1​}，上面的例題第六條說明$A\in \tau$，根據Kolmogorov 0-1律，$P(A)=0or1$，但實際上Kolmogorov 0-1律只能給出這個結果了，因為儘管我們知道了這個概率要麼是0，要麼是1，但我們在計算這個概率前也是不知道它到底是0還是1的，但至少Kolmogorov 0-1律可以作為一個必要條件。

證明
有一個非常有用的觀察：
$$P(A)=0or1\iff P(A\cap A)=P(A)=P(A)P(A)$$

也就是說$A$與自己獨立，於是我們可以通過說明$A$與自己獨立來證明Kolmogorov 0-1律。

因為$A\in \tau$，所以$\exists N\in \mathbb{N}$, $\forall m\ge N$, $A\in {\mathcal{F}}_m$，記 G n = σ { X 1 , ⋯   , X n } \mathcal{G}_n=\sigma\{X_1,\cdots,X_n\} Gn​=σ{X1​,⋯,Xn​}，如果$n<m$，則${\mathcal{G}}_n$與$A$獨立，進一步可以得到$A$與${\cup }_{n\ge 1}{\mathcal{G}}_n$獨立，記 C 1 = { A } , C 2 = ∪ n ≥ 1 G n C_1 = \{A\},C_2 = \cup_{n \ge 1}\mathcal{G}_n C1​={A},C2​=∪n≥1​Gn​，則$C_1,C_2$都是$\pi$-類：

$C_2$是$\pi$-類因為$E_1,E_2\in C_2$, $\exists n_1,n_2,E_1\in {\mathcal{G}}_1,E_2\in {\mathcal{G}}_2$，$E_1\cap E_2\in {\mathcal{G}}_{\max (n_1,n_2)}\subset C_2$。

因此$\sigma (C_1)$與$\sigma (C_2)$獨立，其中 σ ( C 2 ) = σ { X 1 , X 2 , ⋯   } \sigma(C_2)=\sigma\{X_1,X_2,\cdots\} σ(C2​)=σ{X1​,X2​,⋯}, σ ( C 1 ) = { ϕ , A , A C , Ω } \sigma(C_1)=\{\phi,A,A^C,\Omega\} σ(C1​)={ϕ,A,AC,Ω}，因為 A ∈ τ ⊂ σ { X 1 , X 2 , ⋯   } A \in \tau \subset \sigma\{X_1,X_2,\cdots\} A∈τ⊂σ{X1​,X2​,⋯}，於是$A$與自己獨立。

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