初等數學O 集合論基礎 第三節 序關係

這一講的目標是在非空集合中定義序關係，讀者可以把序關係理解為大於小於關係的抽象化與公理化。我們總是試圖把一些耳熟能詳的結果公理化，是因為這些結果非常實用，公理化之後可以在更多場景中應用這些結果。把大於小於抽象為序關係之後，只要在某個集合上我們能夠定義一個序關係，這個集合中的元素也就有了像數字一樣的大小關係，我們就能比較任意兩個元素的大小、找出最大值/最小值。

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定義0.10 序關係
假設$X$是一個非空集合，用$\le$表示$X$中任意兩個元素的關係，如果$\forall x,y,z\in X$，

1. $x\le x$ (自反性，reflexivity)
2. $x\le y,y\le z\Rightarrow x\le z$ (傳遞性，transitivity)

就稱$\le$是一個先序關係(preorder)，如果它還滿足

3. $x\le y,y\le x\Rightarrow x=y$ (反對稱, antisymmetric)

就稱$\le$是一個偏序關係(partial order)，並稱配備有偏序的集合$X$為偏序集；如果一個偏序還滿足

4. $x\le y$, $y\le x$中至少有一個成立 (完全性, totality)

就稱$\le$是一個全序關係(total order)或者線性序關係 (linear order)，並稱配備有偏序的集合$X$為全序集。讀者可以自行驗證，實數的大小關係是一個全序。

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例0.4 假設$X$是一個非空集合，$\mathcal{P}(X)$是它的冪集，$\subseteq$是冪集上的全序嗎？

證
i）驗證自反性，$\forall E\in \mathcal{P}(X)$, $E\subseteq E$顯然成立；
ii）驗證傳遞性，$\forall A,B,C\in \mathcal{P}(X)$, $A\subseteq B,B\subseteq C$，顯然可得$A\subseteq C$。一種更嚴謹的敘述是藉助驗證包含關係的操作，$\forall a\in A$, $A\subseteq B$說明$a\in B$，$B\subseteq C$說明$a\in C$，因此$A\subseteq C$；
iii) 驗證反對稱，$\forall E,F\in \mathcal{P}(X)$, $E\subseteq F,F\subseteq E$，根據集合相等的定義，$E=F$
iv）驗證完全性。事實上完全性不成立，顯然兩個集合不一定總是包含與被包含的關係，也可以是相交、不相交的關係，比如 X = { 1 , 2 , 3 , 4 } X=\{1,2,3,4\} X={1,2,3,4}, E = { 1 , 2 } E = \{1,2\} E={1,2}, F = { 1 , 3 } F = \{1,3\} F={1,3}，顯然$E,F$沒有包含關係，所以完全性不成立。

綜上，$\subseteq$不是冪集上的全序，但它是一個偏序。

例0.5 假設$X$是一個非空有限集合，$\mathcal{P}(X)$是它的冪集，對冪集中的任意兩個集合$E,F$，基於集合的勢定義$E\lesssim F$如果$|E|\le |F|$，$\lesssim$是冪集上的全序嗎？

證
i）驗證自反性，$\forall E\in \mathcal{P}(X)$, $|E|\le |E|$顯然成立，所以$E\lesssim E$；
ii）驗證傳遞性，$\forall A,B,C\in \mathcal{P}(X)$, $A\lesssim B,B\lesssim C$，說明$|A|\le |B|$, $|B|\le |C|$，根據數的大小關係的傳遞性，$|A|\le |C|$，因此$A\lesssim C$ ；
iii) 驗證反對稱，$\forall E,F\in \mathcal{P}(X)$, $E\lesssim F,F\lesssim E$，這說明，$|E|\le |F|$, $|F|\le |E|$, 根據Schroeder-Bernstein定理（第二講定理0.4），$|E|=|F|$，因此反對稱成立
iv）驗證完全性，要說明$\forall E,F\in \mathcal{P}(X)$, $E\lesssim F,F\lesssim E$必有一個成立，就要說明$|E|\le |F|$與$|F|\le |E|$必有一個成立，這正好是第二講定理0.3的內容，既然我們已經定義了序關係，現在我們可以完成定理0.3的證明了。

假設$\mathcal{J}$表示所有從$E$的某個子集到$F$的某個子集的單射的集合，即
J = { f : A → B ∣ A ∈ P ( X ) , B ∈ P ( F ) } \mathcal{J}=\{f:A \to B|A \in \mathcal{P}(X),B \in \mathcal{P}(F)\} J={f:A→B∣A∈P(X),B∈P(F)}

我們可以在$\mathcal{J}$上定義偏序關係。$\forall f_1:A_1\to B_1,f_2:A_2\to B_2\in \mathcal{J}$, 如果$A_1\subseteq A_2,B_1\subset B_2$，就稱$f_1\lesssim f_2$。根據例0.4，我們不難驗證$(\mathcal{J},\lesssim )$是一個偏序集。顯然它的所有子集都有一個上界，也就是$E\to F$的雙射，根據下文定理0.7中的Zorn引理，$\mathcal{J}$存在一個最大元，記為$f:A\to B,A\in \mathcal{P}(X),B\in \mathcal{P}(X)$。下面我們做一個遞迴：如果$x_0\in E\setminus A$, 我們可以找一個$y_0\in F\setminus B$，通過定義$f(x_0)=y_0$擴充單射$f$，然後將 A ∪ { x 0 } A\cup \{x_0\} A∪{x0​}定義為新的$A$， B ∪ { y 0 } B \cup \{y_0\} B∪{y0​}定義為新的$B$。重複這個操作，直到$A=X$或者$B=Y$，因此$|E|\le |F|$與$|F|\le |E|$必有一個成立。

綜上，$\lesssim$是冪集上的全序。

例0.6 在二維歐氏空間 R 2 = { ( x , y ) : x ∈ R , y ∈ R } \mathbb{R}^2=\{(x,y):x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\} R2={(x,y):x∈R,y∈R}中，驗證下面的關係是不是全序：

1. $(x_1,y_1){\le }_1(x_2,y_2)$如果$x_1\le x_2$
2. $(x_1,y_1){\le }_2(x_2,y_2)$如果$|x_1|+|y_1|\le |x_2|+|y_2|$
3. $(x_1,y_1){\le }_3(x_2,y_2)$如果$|x_1{|}^2+|y_1{|}^2\le |x_2{|}^2+|y_2{|}^2$

這個例題比較容易，讀者可以自行驗證這三個關係都是全序。

評註0.4

• 說明一個關係是序關係只需要逐條驗證定義即可，有些關係驗證起來比較複雜，比如例0.5，但有些序關係非常明顯；
• 例0.6的幾個結果說明在同一個集合上可能存在多種不同的全序，在不同的全序下元素的大小關係可能是不一樣的，比如$(2,0)$與$(1,4)$相比，在${\le }_1$下前者更大，在${\le }_2$與${\le }_3$下後者更大，所以具體選用什麼序關係取決於我們想解決的問題。比如在二維歐氏空間中，我們想在圓$(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=1$中找一個距離原點最近的點，就可以在圓上定義序關係${\le }_3$，找出最小元即可。再比如我們在比較兩種方案時，方案一需要花掉90%的預算但能完成100%的工作，方案二隻需要花掉70%的預算但也只能完成60%的工作，因為兩種方案都沒有花完預算，所以我們可以把預算作為$y$，工作進度作為$x$，用序關係${\le }_1$來選出一個最優方案。

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基於序關係可以定義最大元、最小元：

定義0.11 最大元與最小元
假設$(X,\le )$是一個全序集，

• 最大元：$\exists M\in X,\forall x\in X,x\le M$
• 最小元：$\exists m\in X,\forall x\in X,m\le x$

定義0.12 良序
如果$(X,\le )$的每個非空子集都存在最小元，就稱$(X,\le )$是良序集（well-ordered set），稱$\le$是良序（well ordering）。

定理0.7 集合的最大元

• Axiom of Choice（by Zermelo 1904）：一列非空集合的笛卡爾積也是非空集合；
• Zorn’s Lemma：如果偏序集的所有全序子集都有一個上界，那麼這個偏序集有最大元
• Hausdorff Maximal Principle：每個偏序集都有一個最大的全序子集
• Well Ordering Principle (by Cantor 1883)：任意非空集合上都可以定義一個良序使之成為良序集

評註0.5
說明：選擇公理敘述中的笛卡爾積我們還沒介紹到，所以等介紹了笛卡爾集合之後再討論選擇公理的內涵。

第一部分：Hausdorff Maximal Principle與Zorn引理的等價性

Hausdorff Maximal Principle說的是每個偏序集都有一個最大的全序子集，考慮偏序集$(X,\le )$，則$\exists E\subset X$，$(E,\le )$是全序集，並且$E$包含$X$其他所有全序子集。按Zorn引理的敘述，偏序集的所有全序子集都有一個上界，則$(E,\le )$存在一個上界，記這個上界為$M$，則$M$是$X$的最大元（如果$M$不是最大元，可以把$M$納入$E$中，定義 E ′ = E ∪ { M } E'=E\cup\{M\} E′=E∪{M}，驗證$E^{\prime }$為全序集，則$E^{\prime }\supset E$，這與$E$是最大的全序子集矛盾）。

當然Zorn引理也可以匯出Hausdorff Maximal Principle，記$\mathcal{C}$是$(X,\le )$所有全序子集的集族，則$(\mathcal{C},\subset )$是一個偏序集，對這個偏序集應用Zorn引理，顯然它存在一個最大元，這個最大元就是$(X,\le )$最大的全序子集。

第二部分：Zorn引理推出良序原理

使用Zorn引理可以證明良序原則。我們需要引入一個工具：良序集的擴張。假設$(A,\le )$是一個良序集，$A\subset B$，定義關係${\le }_B$使得：

1. $(A,\le )$與$(A,{\le }_B)$等價；
2. $\forall x\in B\setminus A$，$y{\le }_{B}x,\forall y\in A$

則$(B,{\le }_B)$也是一個良序集，稱之為良序集$(A,\le )$的擴張。

我們再定義一個良序之間的序關係，用$R$表示，因為$(B,{\le }_B)$是$(A,\le )$的擴張，這種序關係記為$(A,\le )R(B,{\le }_B)$。用$\mathcal{C}$表示偏序集$(X,\le )$所有良序子集的集族，則$(\mathcal{C},R)$是偏序集，根據Zorn引理，它存在一個最大元，接下來我們可以把最大元擴充套件到$X$上，使$X$被良序化。

第三部分：上面四個結論等價

事實上良序原則可以匯出選擇公理，選擇公理也可以匯出Zorn引理，因此這四個結果是全部等價的，當我們接受了選擇公理之後，我們就可以基於這四個結果對集合進行分析。