一、哈斯圖示例 ( 整除關係 )

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集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

集合 $A$ 上的整除關係 “$|$” 是偏序關係 ,

偏序集是 $<A,|>$

$x$ 整除 $y$ , $x$ 是除數 (分母) , $y$ 是被除數 (分子) ; $\frac{y}{x}$
$y$ 能被 $x$ 整除 , $x$ 是除數 (分母) , $y$ 是被除數 (分子) ; $\frac{y}{x}$

繪製上述偏序集的哈斯圖 :

$1$ 是最小的 , $1$ 能整除所有的數 ;

$1$ 上面的一層是素數 , 素數只能被 $1$ 和其本身整除 ; 素數肯定是覆蓋 $1$ 的 ; 即素數與 $1$ 之間沒有元素 ;

素數之上的數 , 由素數相乘的陣列成 ;

$6$ 既可以整除 $2$ , 又可以整除 $3$ , 因此其既覆蓋 $2$ , 又覆蓋 $3$ ;

$10$ 既可以整除 $2$ , 又可以整除 $5$ , 因此其既覆蓋 $2$ , 又覆蓋 $5$ ;

$15$ 既可以整除 $3$ , 又可以整除 $5$ , 因此其既覆蓋 $3$ , 又覆蓋 $5$ ;

$4$ 可以整除 $2$ , 因此 $4$ 覆蓋 $2$ ;

$9$ 可以整除 $3$ , 因此 $9$ 覆蓋 $3$ ;

二、哈斯圖示例 ( 包含關係 )

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集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b , c \} A={a,b,c} ,

集族 $\mathcal{A}$ 包含於 $A$ 集合的冪集 , $\mathcal{A}\subseteq P(A)$ ,

集族 A = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { b , c } , { a , c } } \mathscr{A} = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a , b \} , \{ b,c \} , \{ a, c \} \} A={∅,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}}

集族 $\mathcal{A}$ 上的 包含關係 “$\subseteq$” 是偏序關係 ,

偏序集是 $<\mathcal{A},\subseteq >$

空集 包含於 所有集合 , 是最小的 , 在哈斯圖最下面 ;

空集 之上是單元集 , 單元集 覆蓋 空集 , 它們之間並不會有第三個元素 ;

三個單元集之間相互沒有包含關係 , 是不可比的 ;

單元集 之上是 雙元集 , 每個 雙元集 之下就是其包含的對應的單元集 ;

三、哈斯圖示例 ( 加細關係 )

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加細關係 是 有序對集合 , 其中每個 有序對的元素 是 集族 ;

集合 $A$ 非空 , $\pi$ 是 $A$ 集合劃分組成的集合 , 每個劃分都是一個集族 ;

劃分參考 : 【集合論】劃分 ( 劃分 | 劃分示例 | 劃分與等價關係 )

集族之間有一種關係 , 加細關係 , 使用符號 ${\preccurlyeq }_{加細}$ 表示 ;

加細關係 ${\preccurlyeq }_{加細}$ 符號化表示 :

≼ 加 細 = { < x , y > ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 細 } \preccurlyeq_{加細} = \{ <x, y> | x, y \in \pi \land x 是 y 的加細 \} ≼加細​={<x,y>∣x,y∈π∧x是y的加細}

前提 :

• 集合 A = { a , b , c , d } A = \{ a, b , c , d \} A={a,b,c,d}

• 集族 A 1 = { { a } , { b } , { c } , { d } } \mathscr{A}_1= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ d \} \} A1​={{a},{b},{c},{d}}

• 集族 A 2 = { { a , b } , { c , d } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a , b \} , \{ c , d \} \} A2​={{a,b},{c,d}}

• 集族 A 3 = { { a , c } , { b , d } } \mathscr{A}_3= \{ \{ a,c \} , \{ b,d\} \} A3​={{a,c},{b,d}}

• 集族 A 4 = { { a } , { b , c , d } } \mathscr{A}_4= \{ \{ a \} , \{ b, c , d \} \} A4​={{a},{b,c,d}}

• 集族 A 5 = { { a } , { b } , { c , d } } \mathscr{A}_5= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c , d \} \} A5​={{a},{b},{c,d}}

• 集族 A 6 = { { a , b , c , d } } \mathscr{A}_6 = \{ \{ a , b , c , d\} \} A6​={{a,b,c,d}}

上述集族都是 $A$ 集合的劃分 ;

劃分關係的哈斯圖 :

${\mathcal{A}}_1$ 是所有劃分的加細 , 是最細的劃分 , 在哈斯圖最下面 ;

所有的劃分都是 ${\mathcal{A}}_6$ 的加細 , 是最粗粒度的劃分, 在哈斯圖最上面 ;

${\mathcal{A}}_5$ 既是 ${\mathcal{A}}_2$ 的加細 , 又是 ${\mathcal{A}}_4$ 的加細 ;

${\mathcal{A}}_3$ 與 ${\mathcal{A}}_4$ 互相不是對方的加細 , 不可比 ;

${\mathcal{A}}_2$ 與 ${\mathcal{A}}_4$ 互相不是對方的加細 , 不可比 ;

${\mathcal{A}}_2$ 與 ${\mathcal{A}}_3$ 互相不是對方的加細 , 不可比 ;

${\mathcal{A}}_3$ 與 ${\mathcal{A}}_5$ 互相不是對方的加細 , 不可比 ;