帶餘除法
設\(a,b\)為整數，\(b>0\),則存在唯一整數\(q\)和\(r\)使得：
帶餘除法又稱歐幾里得除法。
整除
定義
如果餘數\(r=0\), 那麼, 我們就稱\(b\)整除了\(a\), 記作\(b|a\); 這時我們也稱\(b\)是\(a\)的因子,\(a\)是\(b\)的倍數。(如果餘數\(r≠0\), 我們就稱\(b\)不能整除\(a\), 記作: \(b∤a\))
(1)如果\(b|a\), 且\(b≠1\)和\(b≠a\), 則稱\(b\)是\(a\)的真因子
(2)當\(b\)是\(a\)的因子時, 則存在\(q\)使得\(a=q*b=(-q)(-)b\), 這時\(-b\)也是\(a\)的因子
(3)為了簡便, 整數的因子, 總假定為正整數
性質
設\(a>0, b>0, c >0\)則
(1) 若\(c|b\), \(b|a\), 則\(c|a\)
(2) 若\(b|a\), 則\(bc|ac\)
(3) 若\(c|a\), \(c|b\), 則對任意整數\(m\), \(n\)有\(c|ma+nb\)
整數的表示
\(a\)進製表示
設\(a\)為大於\(1\)的整數，任意正整數\(n\)可以表示為：
\(n=r_0+r_1a+r_2a^2+\ldots +r_ta^t,\)
其中，$t\ge 0,\quad 0\le r_i<a,i=0,1,\ldots $
稱為\(n\)的\(a\)進製表示
如何求正整數\(n\)的\(a\)進製表示
第一步求\(\{q_i\}\)：利用帶餘除法
用\(a\)去除\(n\)，\(n=q_0a+r_0,\quad 0\le r_0<a\)
用\(a\)去除\(q_0\)，\(q_0=q_1a+r_1,\quad 0\le r_1<a\)
\(\cdots\)
用\(a\)去除\(q_i\)，\(q_i=q_{i+1}a+r_{i+1},\quad 0\le r_{i+1}<a\)
直到\(q_t<a\)
\(n=q_0a+r_0\)
\(=(q_1a+r_1)a+r_0\)
...
\(=(q_{t-1}a+r_{t-1})a^{t-1}+r_{t-2}a^{t-2}+\ldots +r_1a+r_0\)
\(=q_{t-1}a^t+r_{t-1}a^{t-1}+\ldots +r_1a+r_0\)
最大公因子與輾轉相除法
公因子：設\(a,b\)是兩個非零整數，\(d\)為正整數，若\(d|a,d|b\),則稱\(d\)為\(a\)和\(b\)的公因子
最大公因子：設\(a,b\)是兩個非零整數，\(d\)為正整數，若：
（1）\(d|a,d|b\),
（2）對\(a\)和\(b\)的任意公因子\(e\),皆有\(e|d\)
則稱\(d\)為\(a\)和\(b\)的最大公因子，記為\((a,b)\)。
\(n\)個整數的公因子：設\(a_1,...,a_n\)是n個非零整數，\(d\)為正整數，若\(d|a_i,1≤i≤n\),則稱\(d\)為\(a_1,...,a_n\)的公因子
\(n\)個整數的最大公因子：設\(a_1,...,a_n\)是n個非零整數，\(d\)為正整數，若：（1）\(d|a_i,i=1,2,...,n\)，（2）對任意正整數\(e\),若\(e|a_i,1≤i≤n\)則\(e|d\)
則稱\(d\)為\(a_1,...,a_n\)的最大公因子，記為\((a_1,...,a_n)\)。
定理A：設a、b、c為三個正整數，且：
其中\(q\)為整數，則\((a，b)=(b，c)\)
定理B：設\(a_{1} ，…，a_{n}\)是\(n\)個整數，令：
則\((a_{1} ，…，a_{n})=d_{n-1}\)。
歐幾里得輾轉相除法
利用帶餘除法依次有：
\(a=q_0b+r_0,\quad 0\leq r_0<b\)
\(b=q_1r_0+r_1,\quad 0\leq r_1<r_0\)
\(r_0=q_2r_1+r_2,\quad 0\leq r_2<r_1\)
如此下去
\(r_{i-2}=q_ir_{i-1}+r_i,\quad 0\leq r_i<r_{i-1},\ i=3,4,...\)
這樣我們便得到一個遞減的序列\({r_i}\)，
即：\(r_0>r_1>r_2... \geqslant 0\),
也就是說到某一步（比如第n步）有\(r_n=0\)
這時我們就有\(r_{n-2}=q_nr_{n-1}\)，即\(r_{n-1}\vert r_{n-2}\)
利用定理A：
\((a,b)=(b,r_0)=(r_0,r_1)\)
\(=\ldots=(r_{i-1},r_i)=\ldots=(r_{n-3},r_{n-2})\)
\(=(r_{n-2},r_{n-1})=r_{n-1}\)
輾轉相除法的擴充
輾轉相除法的進一步擴充套件
分析上述輾轉除法可以發現：
\(r_0=a-q_0b=x_0a+y_0b(x_0=1,y_0=-q_0)\)
\(r_1=b-q_1r_0=q_1a+(1+q_0q_1)b=x_1a+y_1b(x_1=q_1,y_1=1+q_0q_1)\)
利用歸納逆推法，不難發現對任意\(r_i(0\leq i\leq n-1)\)，都存在\(x_i,y_i\)滿足：\(r_i=x_ia+y_ib\)。
而且\(r_i=r_{i-2}-q_ir_{i-1}=x_{i-2}a+y_{i-2}b-q_i(x_{i-1}a+y_{i-1}b)=(x_{i-2}-q_ix_{i-1})a+(y_{i-2}-q_iy_{i-1})b\)
\(x_i=x_{i-2}-q_ix_{i-1},y_i=y_{i-2}-q_iy_{i-1}\)+\(X_{-2}=1,X_{-1}=0,Y_{-2}=0,Y_{-1}=1\)
\((x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_{n-1},y_{n-1})\)
\((a,b)=r_{n-1}=x_{n-1}a+y_{n-1}b\)
定理：對任意兩個（正）整數\(a\)，\(b\)，都存在整數\(x\)，\(y\)，使得：
\((a,b)=xa+yb\)
推論：(1) 設\(d\)是\(a\)和\(b\)的任一公因子，則\(d|(a,b)\)
(2) 設\(a_1\)，\(\ldots\)，\(a_n\)是\(n\)個整數，則存在整數\(u_1\)，\(\ldots\)，\(u_n\)滿足：
\((a_1,\ldots,a_n)=u_1a_1+\ldots+u_na_n\)
整數的唯一分解定理
素數：一個大於\(1\)的正整數\(p\)，如果僅以\(1\)和它自身作為其因子，則稱\(p\)為素數
複合數：大於\(1\)的非素的自然數，稱之為複合數
互素：給定兩個整數\(a，b\)，如果\((a，b)=1\)，則稱\(a，b\)互素
關於素數的結果
定理A：設\(p\)為素數，\(a，b\)為整數，若\(plab\)，則\(pla\)或\(plb\)。
定理B:(唯一分解定理)
任一不為\(1\)的正整數\(n\)均可唯一的表示為:\(n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \cdots p_t^{a_t}\)
這裡\(p_1<p_2<p_3<\cdots <p_t\),\(a_1,\cdots,a_t\)為自然數,上式稱為\(n\)的標準分解式
正整數\(n\)分解的存在性,正整數\(n\)分解的唯一性