初等數學I 自然數 第二節 序數理論基礎與自然數的運算

這一講介紹自然數的序數理論，這是有別於基數理論的另一套公理體系。之所以需要發展另一套公理體系是因為基數理論是依賴集合論建立起來的，集合論作為一種分析工具是非常好用的，但我們不希望把各種各樣的數學結構都建立在集合上。自然數的序數理論的基礎是Peano公理(1889)，它的思想非常簡單，就是對我們小時候學數數的思路的抽象化。小時候學數數的時候都是先學從1數到10然後再學從1數到100，數的時候家長會教1之後是2，2之後是3，這種followed by的關係就能很自然地反應自然數的先後順序。那麼我們把這種什麼之後是什麼的關係抽象化，定義一個關係叫後繼，用上標+表示，比如1之後是2，用後繼表示就是$1^{+}=2$，那麼怎麼基於這個關係對整個自然數集進行定義呢？

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定義1.3 自然數與Peano公理
$\mathbb{N}$是一個非空集合，如果這個集合上定義有後繼關係${}^{+}$，並且滿足Peano公理，就稱這個集合是一個自然數集，它的元素叫自然數。Peano公理：

1. $1\in \mathbb{N}$
2. $\forall a\in \mathbb{N},\exists !a^{+}\in \mathbb{N}$
3. $\forall a\in \mathbb{N},a^{+}\ne 1$
4. $\forall a,b\in \mathbb{N}$, $a^{+}=b^{+}\Rightarrow a=b$
5. （歸納公理）如果$M\subseteq \mathbb{N}$滿足$1\in M$以及$\forall a\in M$, $a^{+}\in M$，則$M=\mathbb{N}$

評註1.3
(i) 基數理論定義的自然數集第一個元素是0(空集的勢)，但按照Peano公理1和3，自然數集的第一個元素是1。公理2和4說明每一個自然數後都只緊跟一個自然數，公理5比較有趣，它說的是隻要某集合包含1，並且包含每一個元素的後繼，那麼這個集合就是自然數，下一節我們將用公理5匯出數學歸納法。

(ii) 基於序數理論定義自然數的加法：$\forall a,b\in \mathbb{N}$, 用$a+b$表示加法，它滿足下面兩個運算規則：

1. $a+1=a^{+}$
2. $(a+b{)}^{+}=a+b^{+}$

例1.2 證明下面的等式

• $1+1=2$
• $2+3=5$

證
第一個式子：根據加法的第一個運算規則，$1+1=1^{+}=2$；
第二個式子：根據加法的第二個運算規則，
$$\begin{gathered} 2+3=2+2^{+}=(2+2{)}^{+}=(2+1^{+}{)}^{+} \\ =((2+1{)}^{+}{)}^{+}=((2^{+}{)}^{+}{)}^{+}=(3^{+}{)}^{+}=4^{+}=5 \end{gathered}$$
(iii) 基於序數理論定義自然數的乘法：$\forall a,b\in \mathbb{N}$, 用$a\cdot b$表示加法，它滿足下面兩個運算規則：

1. $a\cdot 1=a$
2. $a\cdot b^{+}=a\cdot b+a$

例1.3 證明等式$$3\cdot 4=12$$

證明
根據第二個運算規則，
$$\begin{gathered} 3\cdot 4=3\cdot 3^{+}=3\cdot 3+3=3\cdot 2^{+}+3=3\cdot 2+3+3 \\ =3\cdot 1^{+}+3+3=3\cdot 1+3+3+3 \end{gathered}$$

根據第一個運算規則，$3\cdot 1=3$，所以
$$3\cdot 4=3+3+3+3$$

計算
$$\begin{gathered} 3+3=3+2^{+}=(3+2{)}^{+}=(3+1^{+}{)}^{+} \\ =((3+1{)}^{+}{)}^{+}=(4^{+}{)}^{+}=5^{+}=6 \end{gathered}$$

計算
$$\begin{gathered} 6+3=6+2^{+}=(6+2{)}^{+}=(6+1^{+}{)}^{+} \\ =((6+1{)}^{+}{)}^{+}=(7^{+}{)}^{+}=8^{+}=9 \end{gathered}$$

計算
$$\begin{gathered} 9+3=9+2^{+}=(9+2{)}^{+}=(9+1^{+}{)}^{+} \\ =((9+1{)}^{+}{)}^{+}=(10^{+}{)}^{+}=11^{+}=12 \end{gathered}$$

綜上，$3\cdot 4=12$。

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定理 1.3

1. $(\mathbb{N},+)$是一個半群，且滿足交換律；
2. $(\mathbb{N},\cdot )$是一個么半群，且滿足交換律；
3. 右分配律：$\forall a,b,c\in \mathbb{N}$, $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
4. 左分配律：$\forall a,b,c\in \mathbb{N}$, $c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot a$

證明
第一個結論。先說明加法的封閉性，即$\forall a,b\in \mathbb{N},\exists !(a+b)\in \mathbb{N}$。類似例1.2的操作，不難驗證
$$a+b=a^{\underset{b個}{\underbrace{++\cdots +}}}\in \mathbb{N}$$

根據Peano公理，每個元素的後繼唯一，於是$a^{\underset{b個}{\underbrace{++\cdots +}}}$唯一。

接下來說明加法的交換律，不失一般性，假設$b>a$，
$$a+b=a^{\underset{b個}{\underbrace{++\cdots +}}}={\left(a^{\underset{(b-a)個}{\underbrace{++\cdots +}}}\right)}^{\underset{a個}{\underbrace{++\cdots +}}}=b^{\underset{a個}{\underbrace{++\cdots +}}}=b+a$$

然後說明加法的結合律，不失一般性，假設$a=\min (a,b,c)$
$$\begin{gathered} (a+b)+c=a^{\underset{b個}{\underbrace{++\cdots +}}}+c=a^{\underset{(b+c)個}{\underbrace{++\cdots +}}}={\left(a^{\underset{(b-a)個}{\underbrace{++\cdots +}}}\right)}^{\underset{(c+a)個}{\underbrace{++\cdots +}}} \\ =b^{\underset{(c+a)個}{\underbrace{++\cdots +}}}=(b+c)+a=a+(b+c) \end{gathered}$$

第二個結論。先說明乘法的封閉性，$\forall a,b\in \mathbb{N},\exists !(a\cdot b)\in \mathbb{N}$，類似例1.3的操作，
$$a\cdot b=\underset{b個}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}$$

因為加法是存在唯一的，於是乘法也是存在唯一的。接下來說明乘法的交換律，不失一般性，假設$a<b$
$$\begin{gathered} b\cdot a=\underset{a個}{\underbrace{b+b+\cdots +b}}=\underset{a個}{\underbrace{a^{\underset{(b-a)個}{\underbrace{++\cdots +}}}+a^{\underset{(b-a)個}{\underbrace{++\cdots +}}}+\cdots +a^{\underset{(b-a)個}{\underbrace{++\cdots +}}}}} \\ =\underset{b個}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}=a\cdot b \end{gathered}$$

類似的還需要證明乘法的結合律，剩餘部分留給讀者證明。