環
整數環Z_m由以下兩部分組成：
1.集合Z_m = ( 0,1,2,…,m )
2.兩種操作 “ + ” 和 “ x ” ，使得對所有的a, b\in Z_m 有：
a + b\equiv c\ mod\ m, (c\in Z_m)\\ a\times b\equiv d\ mod\ m, (d\in Z_m)
環的重點特性
- 如果環內任何兩個數相加或相乘得到的結果始終在環內，那麼這個環就是封閉的。
- 加法和乘法是可結合的，
例如對所有的a,b,c\in Z_m, 都有$$a + ( b + c ) = ( a + b )+ c 和 a·( b·c ) = ( a·b )·c
- 加法中存在中性元素 0 ，
使得對每個a\in Z_m都有a + 0\equiv a\ mod\ m
- 環中的任何元素 a 都存在一個負元素 -a ,
使得 a + ( -a )\equiv 0\ mod\ m , 即加法逆元始終存在。
- 乘法中存在中性元素 1 ，
即對每個a\in Z_m, 都有 a\times 1\equiv a\ mod\ m
- 不是所有元素都存在乘法逆元。
假設a\in Z, 乘法逆元a^{-1}可以定義為：
a·a^{-1}\equiv 1\ mod\ m
如果元素 a 的乘法逆元存在，則可以除以這個元素，因為b/a\equiv b·a^{-1}\ mod\ m
- 找出某個元素的逆元比較困難（通常使用歐幾里得演算法），但可以透過一種簡單方法來判斷一個給定元素 a 的逆元是否存在：
當且僅當 gcd(a, m) = 1, 一個元素a\in Z 存在乘法逆元a^{-1}。其中 gcd 表示最大公約數 ( Greatest Common divisior ), 即同時能除 a 和 m 的最大整數。在數論中，兩個數的最大公約數是 1 有著非常重要的意義，並且擁有專門的稱謂，即：gcd(a, m) = 1, 那麼 a 和 m 就被稱作是互素（互為素數）或互質。
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