題目簡述

將整數n，劃分為m個整數的和$(1\le m\le n)$，求有多少種加法結果。

• 額外條件: 整數的順序也影響結果。

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解決方案

解法一、列舉

思考

聯想到抽屜原理

• 將整數n理解為有n個item，將列舉過程理解為，將n個item放到m個抽屜中

• 現在的問題就在於如何分配item？

容易得出，兩種極端情況。

1. $m=n$，抽屜數等於item個數，這意味著只有一種分法
2. $m=1$，只有一個抽屜，怎麼分都也是隻有一種分法

那麼，就剩下一種最一般的情況了。

3. $n>m$, 抽屜的個數小於item個數
   思路：先給每個抽屜都派一個item，盈餘的item數surplus為$n-m$,
   然後，將surplus按照其公因數分配到抽屜中(那麼k個公因數也就有k種抽屜分配情況)，構造出所有的抽屜，再計算所有抽屜的組合數之和，即計算結果。

• 注意：對於由於$n>m$ 即使是加上盈餘也存在越界的可能，那麼當其越界的時，從列表的首元素開始加即可。

python程式碼實現：

from itertools import permutations


def combines_of_set(_set):
    return len(set(permutations(_set, len(_set))))


def get_cnt(_desk, _num):
    if _desk == 1:  # 特殊情況只有一個抽屜
        return 1

    cnt = 0   # 計數當前所有排列可能
    surplus = _num - _desk    # 給每個抽屜分配一個item後的盈餘的個數

    if surplus == 0:  # 特別情況無盈餘
        return 1

    shares = (x for x in range(1, surplus + 1) if surplus % x == 0)    # 盈餘個數的可劃分份數集

    for x in shares:
        tmp = surplus
        items = [1] * _desk    # 生成抽屜並向每個抽屜放入一個item

        index = 0
        while tmp > 0:
            if index == _desk:  # 越界則從頭加
                index = 0
            items[index] += x
            index += 1
            tmp -= x
        cnt += combines_of_set(items)  # 計算序列組合數

    return cnt


def solution():
    cnt = 0
    n = int(input("請輸入整數n:"))
    for i in range(1, n + 1):
        cnt += get_cnt(i, n)

    return cnt

print(solution())

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