“函式”是高中課本就有的概念，“關係”是大學離散數學裡研究集合元素的聯絡時出現的更常見的概念。上課的時候其實大部分內容沒有難度，給人“廢話”的感覺，但是還是有些東西超出了高中的認知，還有些與程式設計結合起來後認識更深了。
什麼是關係
關係(relation)：有集合\(A,B\)，那麼\(A\times B\)（直積）的任意子集都是一個\(A\to B\)的關係。關係相當於一個可以一對多的函式，每個A中元素可對應B中多個元素，每個B中元素可以對應A中任意元素。任取A中一個元素x和B中一個元素y，x和y要麼是“有關係”，要麼是“沒有關係”。用\(xRy\)表示存在關係\(\langle x,y\rangle\)也可以選擇用謂詞\(f(x,y)\)表示x和y是否有關係，有則為真，無則為假。
關係可以用“連線圖”來表示，也可以用矩陣來表示，比如\(\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4\}\)上的小於關係：
關係的逆很好理解，將箭頭倒轉就可以，關係的複合就是在右側加上第二列連線到第三列，那麼能從第一列連到第三列的所有元素對就是複合關係，這與函式的理論是基本一致的。
自反，對稱與傳遞
對於一個自身上的對映（即\(A\times A\)上），幾個耳熟但不能詳的名詞：
- 自反(reflexive)：任意\(x\in A\)都有\(xRx\)，那麼A就是自反關係，即每個元素都有到自己的關係。
- 非自反(inreflexive)：任意\(x\in A\)都有\(x/ \hspace{-0.6em}Rx\)，那麼A就是非自反關係，即每個元素都不存在到自己的關係。顯然集合只能是自反，非自反，和兩者都不是中的一種。
- 對稱(symmetric)：任意\(xRy\)，則必有\(yRx\)，那麼A就是對稱關係，對稱關係也可以用“逆關係等於自身”來描述。
- 反對稱(antisymmetric)：任意\(xRy\)，若有\(yRx\)，則必有\(x=y\)，即不存在兩個不同元素有互相的對稱關係。但是可以指向自身，因此有些關係可以既對稱又反對稱。
- 傳遞(transitive)：任意\(xRy\)和\(yRz\)，則必有\(xRz\)，那麼A就是傳遞關係，傳遞關係也可以用\(R^2\subseteq R\)來表述（\(R^2\)表示R與R的複合\(R\cdot R\)）。
構造關係閉包
關係閉包提出的問題是：給定任意關係\(R\)，並在\(R\)基礎上新增最少的關係，如何把\(R\)變成具有給定性質的關係？
建立一個自反閉包很簡單，把所有\(xRx\)加上就可以；建立對稱閉包也很簡單，對於每個\(xRy\)，如果\(yRx\)不存在，加上就可以。
那麼傳遞閉包呢？傳遞閉包的結論是：構造\(R_t=R\cup R^2 \cup R^3\cup...\)，得到的\(R_t\)即為包含R的傳遞閉包關係。
證明兩邊相等：先證右屬於左，用歸納法證明，右側\(R^1\subseteq R_t\)顯然；假設\(R^n\subseteq R_t\)，那麼任意\(\langle x,y\rangle\in R^{n+1}=R^n\cdot R\)，都應該存在\(z\)使\(\langle x,z\rangle\in R\wedge \langle z,y\rangle\in R^n\)，而\(R,R^n\subseteq R_t\)，所以\(\langle x,z\rangle,\langle z,y\rangle\)都是\(R_t\)的元素，由傳遞集合性質\(\langle x,y\rangle\in R_t\)。
再證左屬於右，任意\(R\cup R^2 \cup R^3\cup...\)中的元素一定在某一個\(R^i\)中，設有\(\langle x,z\rangle\in R_s\)，\(\langle z,y\rangle\in R_t\)，顯然有\(\langle x,y\rangle\in R_{s+t}\)也在集合中，因此\(R\cup R^2 \cup R^3\cup...\)就是傳遞的，它比最小閉包\(R_t\)大或相等。因此等式成立。
這個結論是正確的，同時也是可計算的，含有n個元素的集合，最多有\(2^{n^2}\)種可能的關係，所以右邊的集合一定會出現重複，數量是有限的。
傳遞關係與Warshell演算法
傳遞關係要求\(f((x,y)\wedge f(y,z))\to f(x,z)\)。\(R\)相當於x直接走到z，\(R^2\)相當於x走兩步到z，以此類推，只要最終x能走到z，就有\(f(x,z)=1\)，我們用下面的流程計算\(R\cup R^2 \cup R^3\cup...\)（假設有n個元素）：
- 令\(k = 1\)
- 列舉所有\(\langle i,j\rangle\in n\times n\)，若\(f_{k-1}(i,k)\wedge f_{k-1}(k,j)\)，則令\(f_k(i,j)=1\)。（這裡的\(f_k\)指不超過k步能走到）
- 遞增k，重複運算到k大於n。
每一次k取A的列舉解出\(R\cup...R^A\)，代表求解i能否在A步以內走到j，由於A步以下的答案都已經求解，若i能在A-1步內走到k，k能在A-1步內走到j，那麼i就可以走到j。複雜度為\(O(n^3)\)。
剛剛一直在用“走到”來描述一次關係變換，其實這個問題是可以抽象為一個圖論問題的，關係就是一張有向圖，每個圖能走到的所有點全部加起來就是傳遞閉包。在實際程式設計中，上述演算法的第一維可以省略，這樣就變成了Floyed演算法。
//Floyed
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
f[i][j] = f[i][k] | f[k][j];
等價，偏序與擬序
介紹了自反，對稱與傳遞，下面得說說他們存在的意義了。
等價關係(equivelance)：滿足自反，對稱，傳遞的關係即為等價關係。自然數的“等於”是典型的等價關係。假設有集合\(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)，顯然只有\(eq(x,x)=1, eq(x,y)=0\)每個元素只和自己相等。“模3等於”也是等價關係，此時模3得1的數互相關係，模3得2的數互相關係，模3得0的數互相關係，他們之間卻都沒有關係。
容易發現，等價關係將集合中的元素進行了“分組”，組內是全聯通的，任意兩元素都等價，而組間都沒有關係，數的等於是等價關係，矩陣的相似等一樣是等價關係，都是按照性質分類帶來的結果。
偏序關係(partial order)：滿足自反，反對稱，傳遞的關係即為偏序關係，自然數的“小於等於”是典型的偏序關係，整數的整除關係也是典型的偏序關係。
擬序關係(quasi order)：滿足非自反和傳遞的關係即為擬序關係（顯然是反對稱的），“小於”是典型的擬序關係。
偏序和擬序的差別在於有無自反。省略到自己的關係，在偏序或擬序關係下，由於反對稱性，元素會形成一張有向無環圖。對於“小於”來說，所有元素形成了一條鏈，這就是排序的基礎。
關係的規則與程式設計
“自然數的等於”是等價關係的典型，“自然數的小於”是擬序關係的典型。這樣的規則一方面便於我們記憶，另一方面解釋了這些關係的本質。
而第三個方面，我們要確保使用小於和等於時滿足這些性質。比如在C++裡，使用map和set需要支援==號，使用sort需要一個小於號，如果你過載了自定義型別的比較運算子號，就一定要確保它滿足對應的性質。比如過載小於號的時候，一定要保證過載出的符號滿足非自反性和傳遞性，只有這樣才能把全體元素連成一條鏈，按鏈上的大小規則排序，否則（比如使用了小於等於號導致自反）將不能正確排序。
典型例題：洛谷 P2123 皇后遊戲