【BSM模型】股票價格對數正態分佈的性質，lnE(ST)和E(lnST)的關係

        關於股票價格的對數正態分佈，有幾個重要性質，曲曲菜在本文中總結一下，並說明得出過程。

幾個引數的說明

μ：股票每年的期望收益率。是投資者在很短一段時間內獲得收益率的期望值（按年計），股票的漂移率除以期初股價。在非常小的時間區間上才有意義，是短時值的年化。本值與利率水平和股票的非系統性風險有關。本質是一個期望值。

x：在長為T的一段時間內，以連續複利計算的股票的收益率。x=(ln(ST/S0))/T。

σ：股票價格每年的波動率。可以定義為連續複利股票在一年內所提供收益率的標準差。也可以定義為很短一段時間內獲得收益率標準差的年化。

1. dST =μSTdt+σSdz =μSTdt+σSdz =

這個式子是我們根據變化規律，為股票價格建模的式子。

2. lnST-lnS0~

或者lnST~

這個式子是我們令G=lnS，根據伊藤引理推匯出。進一步可以推匯出：E(lnST)=

  。我們知道如果Xt~

，那麼Xt=mt+sdz。所以lnST=

，推出ST=

3. ST=

這個式子是我們對x進行定義的式子。可推出x=(ln(ST/S0))/T=(lnST-lnS0)/T，結合2，所以x~

。這說明了以連續複利計算的收益率期望x為什麼不等於股票收益率的期望值μ。因為x是一個長期的值，μ是一個短期值得年化。μ只有在短期內有效，與長期值x比較，其實也沒有多少意義。

4. E(ST)=

或者lnE(ST)=lnS0+μT

這個式子證明比較複雜，證明過程也比較繁瑣，逐個編輯數學公式太費勁，我就直接放手寫推導的圖片了。

證明過程

         現在根據2和4，可以推出lnE(ST)和E(lnST)的關係了。定量關係：lnE(ST)=E(lnST)+

。定性關係：lnE(ST)>E(lnST)。也可以用幾何圖形對定性關係做一個認識，如下。

定性認識圖形

參考資料

[1]約翰 赫爾.期權、期貨及其他衍生品

[2] John Hull.Technical Note 2 Properties of Lognormal Distribution

本文作者：曲曲菜（微信公眾號：曲曲菜）

知乎專欄：AI和金融模型

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