**論盡新關係式**
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韋達定理面世的時間是1615年，到現在2021年，有406年的歷史。
亦即是說：根與系數的關係式，406年來的唯一性地位， 從來沒有受到挑戰，••••••但是， 新關係式(之前稱為第二關係式)的出現，似乎打破了這種沉默。 
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新關係式埋藏得那麼深， 韋達定理面世之後經歷了406年之後才被發現，而且又是那麼的簡單，••••••實在：令人驚訝。
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短短的9個月時間，使用新關係式，寫下了欄目為“代數遺珠”的98篇文章。
http://blog.itpub.net/20489909/cid-187533/list-1/
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當中有簡單而趣味十足、可能很容易破解的黑洞系列；
不是0的二項黑洞恆等式
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2773461/
不是0的三項黑洞恆等式
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2773475/
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亦有， 可能很難破解的三層n數3次冪恆等式；
三層n數3次冪恆等式
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2775660/
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再有純學術性， 歷史上可能沒有的案例；
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一元3次方一元4次方的通道
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2787063/
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萬高通道：貫穿一元1次方到一元4次方
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2787761/
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以上，全部都是使用新關係式的根與系數：煉成的作品。
以下，舉例一元5次方，解釋一下韋達定理的根與系數，與新關係式的根與系數：帶來的區別性和關聯性。
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『**一元5次方**』
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X^5+AX^4+BX^3+CX^2+DX^1+E=0。
※※※
A,B,C,D,E：是韋達定理表達的系數和常數。
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根據一元5次方的5個解X,Y,Z,T,V，可以這樣寫下；
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X^5+AX^4+BX^3+CX^2+DX^1+E=0。
Y^5+AY^4+BY^3+CY^2+DY^1+E=0。
Z^5+AZ^4+BZ^3+CZ^2+DZ^1+E=0。
T^5+AT^4+BT^3+CT^2+DT^1+E=0。
V^5+AV^4+BV^3+CV^2+DV^1+E=0。
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5式加在一起，得出；
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『 **一元5次方子體A**』
※※※
(X^5+Y^5+Z^5+T^5+V^5)
+
A(X^4+Y^4+Z^4+T^4+V^4)
+
B(X^3+Y^3+Z^3+T^3+V^3)
+
C(X^2+Y^2+Z^2+T^2+V^2)
+
D(X^1+Y^1+Z^1+T^1+V^1)
+
5E
=
0。
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又有，根據新關係式，得出；
※※※
(X^1+Y^1+Z^1+T^1+V^1+...)= -A。
(X^2+Y^2+Z^2+T^2+V^2+...)= -A(1)-2B。
(X^3+Y^3+Z^3+T^3+V^3+...)= -A(2)-B(1)-3C。
(X^4+Y^4+Z^4+T^4+V^4+...)= -A(3)-B(2)-C(1)-4D。
(X^5+Y^5+Z^5+T^5+V^5+...)= -A(4)-B(3)-C(2)-D(1)-5E。
(X^6+Y^6+Z^6+T^6+V^6+...)= -A(5)-B(4)-C(3)-D(2)-E(1)-6F。
(X^7+Y^7+Z^7+T^7+V^7+...)= -A(6)-B(5)-C(4)-D(3)-E(2)-F(1)-7G。
(X^8+Y^8+Z^8+T^8+V^8+...)= -A(7)-B(6)-C(5)-D(4)-E(3)-F(2)-G(1)-8H。
…………
※※※
新關係式的一元n次通式；
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2772307/
※※※
因為今次的舉例是一元5次方，系數只涉及ABCDE，因此得出；
※※※
(X^1+Y^1+Z^1+T^1+V^1)= -A。
(X^2+Y^2+Z^2+T^2+V^2)= A^2-2B。
(X^3+Y^3+Z^3+T^3+V^3)= -A^3+3AB-3C。
(X^4+Y^4+Z^4+T^4+V^4)= A^4-4(A^2)B+4AC+2B^2-4D。
(X^5+Y^5+Z^5+T^5+V^5)= -A^5+5(A^3)B-5(A^2)C-5A(B^2)+5AD+5BC-5E。
◆◆◆
將等號左右兩邊的專案，歸類整理得出；
※※※
『 **一元5次方子體B**』
※※※
(X^5+Y^5+Z^5+T^5+V^5)
+
(X^4+Y^4+Z^4+T^4+V^4)
+
(X^3+Y^3+Z^3+T^3+V^3)
+
(X^2+Y^2+Z^2+T^2+V^2)
+
(X^1+Y^1+Z^1+T^1+V^1)**
=
-A^5
+
(A^4)
+
(A^3)(5B-1)
-
(A^2)(4B+5C-1)
-
(A^1)(5B^2-3B-5D-4C+1)
+
(2B^2+5BC-2B-3C-4D-5E)。
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可以看到：一元5次方子體B，等號的左邊沒有系數項、全部是新關係式的齊次項組成，韋達定理表達的系數項、全部在等號的右邊。
特別指出：這樣的製作展示了1615年面世的韋達定理，與現在2021年找到的新關係式，兩者存在著奇妙的通道。
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以下使用一個簡單的範例，清新一下以上表達的內容。
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範例：X=1, Y=2, Z=3, T=4, V=5；
※※※
由新關系式得；
※※※
A= −(X^1+Y^1+Z^1+T^1+V^1)。
A= −(1+2+3+4+5)= −15。
※※※
B=[A^2-(2)]/2。
B=((−15)^2-(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2))/2=85。
※※※
C=[A^3-3(2)A-2(3)]/6。
C=((−15)^3-3(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)(−15)-2(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3))/6= −225。
※※※
D=[A^4-6(2)A^2-8(3)A+3(2)^2-6(4)]/24。
D=((−15)^4-6(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)(−15)^2-8(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3)(−15)+3(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)^2-6(1^4+2^4+3^4+4^4+5^4))/24=274。
※※※
E=[A^5-10(2)A^3-20(3)A^2+15A(2)^2-30A(4)+20(3)(2)-24(5)]/120。
E=((−15)^5-10(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)(−15)^3-20(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3)(−15)^2+15(−15)(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)^2-30(−15)(1^4+2^4+3^4+4^4+5^4)+20(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3)(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)-24(1^5+2^5+3^5+4^5+5^5))/120= −120。
◆◆◆
整理得；
※※※
A= -15。
B= 85。
C= -225。
D= 274。
E= -120。
◆◆◆◆◆◆
將以上ABCDE的結果，以及X=1, Y=2, Z=3, T=4, V=5，代入一元5次方子體A得；
※※※
『一元5次方子體A的代入式』
※※※
(1^5+2^5+3^5+4^5+5^5)
+
(-15)(1^4+2^4+3^4+4^4+5^4)
+
85(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3)
+
(-225)(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)
+
274(1+2+3+4+5)
+
5(-120)
=
0。
※※※
得；
4425−14685+19125−12375+4110−600=0。
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又將以上ABCDE的結果，以及X=1, Y=2, Z=3, T=4, V=5，代入一元5次方子體B得；
※※※
『一元5次方子體B的代入式』
※※※
(1^5+2^5+3^5+4^5+5^5)
+
(1^4+2^4+3^4+4^4+5^4)
+
(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3)
+
(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)
+
(1+2+3+4+5)
=
-(−15)^5
+
(−15)^4
+
(−15)^3(5×85-1)
-
(−15)^2(4×85+5×(-225)-1)
-
(−15)(5×85^2-3×85-4×(-225)-5×274+1)
+
2×85^2+5×85×(-225)-2×85-3×(-225)-4×274-5×(-120)。
※※※
得；
※※※
4425+979+225+55+15
=
759375+50625−1431000+176850+531015−81166。
※※※
再得：5699=5699。
◆◆◆◆◆◆
特別指出；
一元5次方子體A，是韋達定理表達的方程式。
一元5次方子體B，是新關係式表達的方程式。
※※※
一元5次方子體B使用新關係式，同樣得出一元5次方子體A使用韋達定理解題的結果。
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綜合而言，新關係式除了可以解釋韋達定理的根與系數的關係，還可以解釋；
（1）(x+y+z)^n的n次展開的根與系數的關係。
（2）(x+y+z+t)^n的n次展開的根與系數的關係。
（3）(x+y+z+t+v+...+q)^n的n次展開的根與系數的關係。
◆◆◆◆◆◆
完

論盡新關係式

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