**韋達定理與第二關係式的通道**
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今次文章，用一元5次方示範，解釋韋達定理與第二關係式的通道。
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『一元5次方』
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**X^5+AX^4+BX^3+CX^2+DX+E=0。**
※※※
A,B,C,D,E：是韋達定理表達的係數。
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根據一元5次方的5個解X,Y,Z,T,V，可以這樣寫下；
※※※
X^5+AX^4+BX^3+CX^2+DX+E=0。
Y^5+AY^4+BY^3+CY^2+DY+E=0。
Z^5+AZ^4+BZ^3+CZ^2+DZ+E=0。
T^5+AT^4+BT^3+CT^2+DT+E=0。
V^5+AV^4+BV^3+CV^2+DV+E=0。
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5式加在一起，得出；
※※※
『**一元5次方子體A**』
※※※
(X^5+Y^5+Z^5+T^5+V^5)
+
A(X^4+Y^4+Z^4+T^4+V^4)
+
B(X^3+Y^3+Z^3+T^3+V^3)
+
C(X^2+Y^2+Z^2+T^2+V^2)
+
D(X+Y+Z+T+V)
+
5E
=
0。
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為方便觀看，調整一下，將含ABCDE的項放在等號的另一邊，並且用示意圖表示；
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『示意圖』
(5)= -A(4)-B(3)-C(2)-D(1)-5E。
※※※
其中；
※※※
(5)=(X^5+Y^5+Z^5+T^5+V^5)
(4)=(X^4+Y^4+Z^4+T^4+V^4)
(3)=(X^3+Y^3+Z^3+T^3+V^3)
(2)=(X^2+Y^2+Z^2+T^2+V^2)
(1)=(X+Y+Z+T+V)
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又有，根據第二關係式；
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(1)= -A。
(2)= -A(1)-2B。
(3)= -A(2)-B(1)-3C。
(4)= -A(3)-B(2)-C(1)-4D。
(5)= -A(4)-B(3)-C(2)-D(1)-5E。
(6)= -A(5)-B(4)-C(3)-D(2)-E(1)-6F。
(7)= -A(6)-B(5)-C(4)-D(3)-E(2)-F(1)-7G。
(8)= -A(7)-B(6)-C(5)-D(4)-E(3)-F(2)-G(1)-8H。
…………
(n)= -A(n-1)-B(n-2)-C(n-3)-D(n-4)-E(n-5)-6F(n-6)-G(n-7)-H(n-8)-……n(P)。
※※※
第二關係式：一元n次通式；
http://blog.itpub.net/20489909/viewspace-2772307/
※※※
因此，今次一元5次方的根與係數的關係，又可以這樣得寫下；
※※※
(1)= -A。
(2)=  A^2-2B。
(3)= -A^3+3AB-3C。
(4)=  A^4-4(A^2)B+4AC+2B^2-4D。
(5)= -A^5+5(A^3)B-5(A^2)C-5A(B^2)+5AD+5BC-5E。
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將等號左右兩邊的專案，各自歸類，整理得出；
※※※
(5)
+
(4)
+
(3)
+
(2)
+
(1)
=
-A^5
+
A^4
+
(A^3)(5B-1)
-
(A^2)(5C+4B-1)
-
A(5B^2-5D-4C-3B+1)
+
2B^2+5BC-2B-3C-4D-5E。
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再得出；
※※※
『**一元5次方子體B**』
※※※
(X^5+Y^5+Z^5+T^5+V^5)
+
(X^4+Y^4+Z^4+T^4+V^4)
+
(X^3+Y^3+Z^3+T^3+V^3)
+
(X^2+Y^2+Z^2+T^2+V^2)
+
(X+Y+Z+T+V)
=
-A^5
+
A^4
+
(A^3)(5B-1)
-
(A^2)(4B+5C-1)
-
A(5B^2-3B-5D-4C+1)
+
2B^2+5BC-2B-3C-4D-5E。
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可以看到：一元5次方子體B，等號的左邊沒有係數項、全部是第二關係式的齊次項組成，韋達定理表達的係數項、全部在等號的右邊。
特別指出：這樣的製作歷史上沒有案例。
這樣的製作：展示了1615年提出的韋達定理，與現在2021年5月份找到的第二關係式，兩者之間存在著奇妙的通道。
※※※
以下，使用一個簡單的範例，清新一下以上表達的內容。
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**範例：X=1, Y=2, Z=3, T=4, V=5；**
※※※
由第二關係式得；
※※※
A= −(1)。
――――――
A= −(1+2+3+4+5)
= −15。
※※※
B=[A^2-(2)]/2。
――――――
B=((−15)^2-(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2))/2
=85。
※※※
C=[A^3-3(2)A-2(3)]/6。
――――――
C=((−15)^3-3(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)(−15)-2(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3))/6
= −225。
※※※
D=[A^4-6(2)A^2-8(3)A+3(2)^2-6(4)]/24。
――――――
D=((−15)^4-6(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)(−15)^2-8(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3)(−15)+3(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)^2-6(1^4+2^4+3^4+4^4+5^4))/24
=274。
※※※
E=[A^5-10(2)A^3-20(3)A^2+15A(2)^2-30A(4)+20(3)(2)-24(5)]/120。
――――――
E=((−15)^5-10(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)(−15)^3-20(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3)(−15)^2+15(−15)(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)^2-30(−15)(1^4+2^4+3^4+4^4+5^4)+20(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3)(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)-24(1^5+2^5+3^5+4^5+5^5))/120
= −120。
◆◆◆
整理得；
※※※
A= -15。
B= 85。
C= -225。
D= 274。
E= -120。
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**將以上ABCDE的結果，以及X=1, Y=2, Z=3, T=4, V=5，代入一元5次方子體A；**
※※※
『一元5次方子體A』
※※※
(1^5+2^5+3^5+4^5+5^5)
+
(-15)(1^4+2^4+3^4+4^4+5^4)
+
85(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3)
+
(-225)(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)
+
274(1+2+3+4+5)
+
5(-120)
=
0。
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得；
4425−14685+19125−12375+4110−600=0。
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**又將以上ABCDE的結果，以及X=1, Y=2, Z=3, T=4, V=5，代入一元5次方子體B；**
※※※
『一元5次方子體B』
※※※
(1^5+2^5+3^5+4^5+5^5)
+
(1^4+2^4+3^4+4^4+5^4)
+
(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3)
+
(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)
+
(1+2+3+4+5)
=
-(−15)^5
+
(−15)^4
+
(−15)^3(5×85-1)
-
(−15)^2(4×85+5×(-225)-1)
-
(−15)(5×85^2-3×85-4×(-225)-5×274+1)
+
2×85^2+5×85×(-225)-2×85-3×(-225)-4×274-5×(-120)。
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得；
※※※
4425+979+225+55+15
=
759375+50625−1431000+176850+531015−81166。
※※※
再得；
※※※
5699
=
5699。
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特別指出；
一元5次方子體A，是韋達定理表達的方程式。
一元5次方子體B，是第二關係式表達的方程式。
※※※
一元5次方子體B使用第二關係式：同樣得出守恆的結果。
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完成：2021,05,26。

韋達定理與第二關係式的通道

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