Step 1: 微分中值定理簡介 微分中值定理（Mean Value Theorem, MVT）表明，如果函式 f(x)f(x)f(x) 在閉區間 [a,b][a, b][a,b] 上連續，並且在開區間 (a,b)(a, b)(a,b) 上可導，那麼存在一個點 c∈(a,b)c \in (a, b)c∈(a,b) 使得： f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}f′(c)=b−af(b)−f(a)
Step 2: 透過微分中值定理進行分析 假設函式 f(x)f(x)f(x) 在開區間 III 上有界，即存在常數 MMM 使得對於所有 x∈Ix \in Ix∈I，都有 ∣f(x)∣≤M|f(x)| \leq M∣f(x)∣≤M。
我們選擇任意兩個點 a,b∈Ia, b \in Ia,b∈I 且 a<ba < ba<b，根據微分中值定理，在 (a,b)(a, b)(a,b) 記憶體在一個點 ccc 使得： f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}f′(c)=b−af(b)−f(a)
由於 f(x)f(x)f(x) 在 III 上有界，∣f(a)∣≤M|f(a)| \leq M∣f(a)∣≤M 和 ∣f(b)∣≤M|f(b)| \leq M∣f(b)∣≤M，我們可以得到： ∣f(b)−f(a)∣≤∣f(b)∣+∣f(a)∣≤2M|f(b) - f(a)| \leq |f(b)| + |f(a)| \leq 2M∣f(b)−f(a)∣≤∣f(b)∣+∣f(a)∣≤2M
因此： ∣f′(c)∣=∣f(b)−f(a)b−a∣≤2Mb−a|f'(c)| = \left| \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \right| \leq \frac{2M}{b - a}∣f′(c)∣=b−af(b)−f(a)≤b−a2M
Step 3: 分析導數的有界性 雖然上面的不等式給出了某個點 ccc 處導數的估計值，但這個估計值依賴於 b−ab - ab−a 的大小。當 b−ab - ab−a 很小時，∣f′(c)∣|f'(c)|∣f′(c)∣ 可能變得非常大。因此，即使函式 f(x)f(x)f(x) 在 III 上有界，也不能保證 f′(x)f'(x)f′(x) 在 III 上有界。
例子分析 我們再來看之前提到的反例 f(x)=sin(1x)f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)f(x)=sin(x1)，在區間 (0,1)(0,1)(0,1) 上有界，但其導數 f′(x)=−cos(1x)⋅1x2f'(x) = -\cos\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x^2}f′(x)=−cos(x1)⋅x21 在 x→0x \to 0x→0 時變得無界。
最終答案 透過微分中值定理的分析，可以看出即使函式 f(x)f(x)f(x) 在開區間 III 上有界，也不能推出其導數 f′(x)f'(x)f′(x) 有界。這是因為導數的有界性不僅依賴於函式值的有界性，還依賴於區間長度的縮小情況。
關鍵概念 微分中值定理提供了函式在某點處的導數值的估計，但函式有界不意味著其導數有界。
關鍵概念解釋
- 微分中值定理：如果函式在閉區間上連續並且在開區間上可導，那麼在該開區間記憶體在一個點使得導數等於該區間兩端點函式值差除以區間長度。
- 導數有界性：導數在某區間內的所有值均被某個有限數值所限制。導數有界性不僅依賴於函式值，還與區間長度相關。