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一、多項式係數

下面 $3$ 個數是等價的 :

① 多項式係數 $\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}$

② 多重集全排列數

③ 不同的球放到不同盒子中 , 不允許有空盒 , 每個盒子放指定個數的球方案個數 ;

1 . 多項式係數

多項式定理中

$\ \ \ \ (x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n$

$\sum\limits_{滿足 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 非負整數解個數}\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}$

的 ① 多項式係數 $\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}$

2 . 多重集全排列數 :

同時又代表了 ② 多重集的全排列數 $\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}$ , 可以簡記為 $\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}$

3 . 放球子模型方案個數

③ $\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}$ 可以代表放球模型的一個子型別的解個數 ,

$n$ 不同的球 , 放到 $t$ 個不同的盒子裡 , 注意此處球和盒子都有區別 ,

第 $1$ 個盒子放 $n_1$ 個球 , 第 $2$ 個盒子放 $n_2$ 個球 , $\cdots$ , 第 $t$ 個盒子放 $n_t$ 個球的方案數 ;

相當於多步處理 :

第 $1$ 步 : 選擇 $n_1$ 個球 , 放到第 $1$ 個盒子中 ; 選取方法有 $\dbinom{n}{n_1}$ 種 ;
第 $2$ 步 : 選擇 $n_2$ 個球 , 放到第 $2$ 個盒子中 ; 選取方法有 $\dbinom{n-n_1}{n_2}$ 種 ;
$\vdots$
第 $t$ 步 : 選擇 $n_t$ 個球 , 放到第 $t$ 個盒子中 ; 選取方法有 $\dbinom{n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}}{n_t}$ 種 ;

根據分步計數原理 , 乘法法則 , 將上面每步的種類個數相乘 , 就是所有的種類個數 :

$\ \ \ \ \dbinom{n}{n_1} \dbinom{n-n_1}{n_2} \dbinom{n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}}{n_t}$

$=\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_t!}$

$=\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}$

二、多項式係數恆等式

多項式定理推論 3 :

$\sum\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = t^n$

多重集全排列 :

$\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}$

遞推式 :

$\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = \dbinom{n-1}{(n_1-1) n_2 \cdots n_t} + \dbinom{n-1}{n_1 (n_2 - 1) \cdots n_t}+ \dbinom{n-1}{n_1 n_2 \cdots (n_t -1)}$

證明上述遞推式 :

左側 $\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}$ 是放球問題的解 ,

右側第 $1$ 項 $\dbinom{n-1}{(n_1-1) n_2 \cdots n_t}$ 是指定某個球 $a_1$ 必須落到第 $1$ 個盒子中的方案個數 ;

右側第 $2$ 項 $\dbinom{n-1}{n_1 (n_2 - 1) \cdots n_t}$ 是指定某個球 $a_1$ 必須落到第 $2$ 個盒子中的方案個數 ;

$\vdots$

右側第 $t$ 項 $\dbinom{n-1}{n_1 n_2 \cdots (n_t -1)}$ 是指定某個球 $a_1$ 必須落到第 $t$ 個盒子中的方案個數 ;

【組合數學】多項式定理 ( 多項式係數 | 多重集全排列 | 對應放球子模型方案數 | 多項式係數相關恆等式 )

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一、多項式係數

二、多項式係數恆等式

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