多項式半家桶

liuchanglc發表於2020-12-30

多項式乘法

FFT

因為有浮點數參與運算，所以可能會出現精度的問題

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const double pi=acos(-1);
const int maxn=4e6+5;
struct fs{
	double x,y;
	friend fs operator + (rg const fs& A,rg const fs& B){
		return (fs){A.x+B.x,A.y+B.y};
	}
	friend fs operator - (rg const fs& A,rg const fs& B){
		return (fs){A.x-B.x,A.y-B.y};
	}
	friend fs operator * (rg const fs& A,rg const fs& B){
		return (fs){A.x*B.x-A.y*B.y,A.x*B.y+A.y*B.x};
	}
	friend fs operator / (rg const fs& A,rg const double& B){
		return (fs){A.x/B,A.y/B};
	}

}a[maxn],b[maxn],w[25][maxn];
int wz[maxn],n,m;
void fft(rg fs A[],rg int lim,rg int typ){
	for(rg int i=0;i<lim;i++) if(i<wz[i]) std::swap(A[i],A[wz[i]]);
	for(rg int len=1,t0=0;len<lim;len<<=1,t0++){
		for(rg int j=0,now=len<<1;j<lim;j+=now){
			for(rg int k=0;k<len;k++){
				rg fs x=A[j+k],y=A[j+k+len]*w[t0][k];
				A[j+k]=x+y;
				A[j+k+len]=x-y;
			}
		}
	}
	if(typ==-1){
		std::reverse(A+1,A+lim);
		for(rg int i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]/(double)lim;
	}
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(rg int i=0;i<=n;i++) a[i].x=read();
	for(rg int i=0;i<=m;i++) b[i].x=read();
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<=n+m;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++){
		wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	}
	for(rg int i=0,len=1;len<lim;len<<=1,i++){
		for(rg int j=0;j<len;j++){
			w[i][j]=(fs){cos(pi*j/len),sin(pi*j/len)};
		}
	}
	fft(a,lim,1),fft(b,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) a[i]=a[i]*b[i];
	fft(a,lim,-1);
	for(rg int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",(int)(a[i].x+0.5));
	printf("\n");
	return 0;
}

NTT

用原根代替複數

但必須保證模數 \(p = a \cdot 2^k + 1\)

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=4e6+5,mod=998244353,G=3;
int a[maxn],b[maxn],wz[maxn],n,m,w[23][maxn];
int delmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1-=now2,now1<0?now1+mod:now1;
}
int addmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1+=now2,now1>=mod?now1-mod:now1;
}
int mulmod(rg long long now1,rg int now2){
	return now1*=now2,now1>=mod?now1%mod:now1;
}
int ksm(rg int ds,rg int zs){
	rg int nans=1;
	while(zs){
		if(zs&1) nans=mulmod(nans,ds);
		ds=mulmod(ds,ds);
		zs>>=1;
	}
	return nans;
}
void ntt(rg int A[],rg int lim,rg int typ){
	for(rg int i=0;i<lim;i++) if(i<wz[i]) std::swap(A[i],A[wz[i]]);	
	for(rg int len=1,t0=0;len<lim;len<<=1,t0++){
		for(rg int j=0,now=len<<1;j<lim;j+=now){
			for(rg int k=0;k<len;k++){
				rg int x=A[j+k],y=mulmod(w[t0][k],A[j+k+len]);
				A[j+k]=addmod(x,y);
				A[j+k+len]=delmod(x,y);
			}
		}
	}
	if(typ==-1){
		std::reverse(A+1,A+lim);
		rg int ny=ksm(lim,mod-2);
		for(rg int i=0;i<lim;i++){
			A[i]=mulmod(A[i],ny);
		}
	}
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(rg int i=0;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(rg int i=0;i<=m;i++) b[i]=read();
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<=n+m;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	for(rg int i=0,k=1;k<lim;k<<=1,i++){
		w[i][0]=1;
		w[i][1]=ksm(G,(mod-1)/(k<<1));
		for(rg int j=2;j<k;j++){
			w[i][j]=mulmod(w[i][j-1],w[i][1]);
		}
	}
	ntt(a,lim,1),ntt(b,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) a[i]=mulmod(a[i],b[i]);
	ntt(a,lim,-1);
	for(rg int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",a[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

\(FFT\) 和 \(NTT\) 預處理單位根要快不少

預處理單位根有兩種寫法，一種是 \(O(nlogn)\) 的，另一種是 \(O(n)\) 的

第一種因為訪問記憶體連續實測更快

任意模數多項式乘法（MTT）

當多項式乘法進行取模的數並不是我們喜歡的模數時，就要用到 \(MTT\)

實現的方法有很多，這裡介紹一種只需要 \(2\) 次 \(DFT\) 和 \(2\) 次 \(IDFT\) 的優秀做法

首先，我們對原來的多項式拆係數

令\(k=sqrt(mod)\)，則

\[\begin{aligned} A(x)=kA_0(x)+A_1(x)\\ B(x)=kB_0(x)+B_1(x)\end{aligned} \]

即拆成了 \(A(x)/k\) 和 \(A(x)\%k\) 兩部分

那麼

\[\begin{aligned} A(x)B(x)&=(kA_0(x)+A_1(x))(kB_0(x)+B_1(x))\\ &=k^2A_0(x)B_0(x)+A_1(x)B_1(x)+kA_0(x)B_1(x)+kA_1(x)B_0(x) \end{aligned} \]

這樣就有一個\(4\) 次 \(DFT\) 和 \(4\) 次 \(IDFT\) 的暴力做法

考慮優化，設

\[\begin{aligned} P(x)=A_0(x)+iA_1(x)\\ Q(x)=A_0(x)-iA_1(x)\end{aligned} \]

由於 \(A, B\) 的虛部都為 \(0\)

\(P,Q\) 的每一項係數都互為共軛，同樣每一個點值也互為共軛

那麼只需對 \(P\) 做一次 \(DFT\) ，就可以通過共軛 \(O(n)\) 求出 \(Q\) 的點值表示

具體地說，在點值表示中 \(P\) 的第 \(k\) 項與 \(Q\) 的第 \(n-k\) 項是共軛

要特判下標為 \(0\) 的情況

求出了 \(P\) 和 \(Q\) ，我們就能用二元一次方程的知識推出 \(A_0\) 和 \(A_1\)

對於 \(B\) 也是同理

此時，我們進行了兩次 \(DFT\) 得到了所有多項式的點值表示

下面就是怎麼把它們變成係數表示

仍然借鑑上面的思路，構造兩個多項式

\(P(x)=A_0(x)B_0(x)+iA_1(x)B_0(x)\)

\(Q(x)=A_0(x)B_1(x)+iA_1(x)B_1(x)\)

通過已知的點值求出此時 \(P, Q\) 的點值

然後分別對 \(P, Q\) 做 \(IDFT\)

由於 \(A_0 B_0,A_0 B_1,A_1 B_0,A_1 B_1\)這四個多項式捲起來後的係數表示中虛部一定為 \(0\)

那麼此時 \(P\) 的實部和虛部就分別為 \(A_0(x) B_0(x)\)和 \(A_1(x) B_0(x)\)

同樣 \(Q\) 的實部和虛部就分別為 \(A_0(x) B_1(x)\) 和 \(A_1(x) B_1(x)\)。

這樣，我們又進行了兩次 \(IDFT\) 得到了所有多項式的係數表示

程式碼

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=4e5+5;
const double pi=acos(-1);
struct fs{
	double x,y;
	friend fs operator + (rg const fs& A,rg const fs& B){
		return (fs){A.x+B.x,A.y+B.y};
	}
	friend fs operator - (rg const fs& A,rg const fs& B){
		return (fs){A.x-B.x,A.y-B.y};
	}
	friend fs operator * (rg const fs& A,rg const fs& B){
		return (fs){A.x*B.x-A.y*B.y,A.x*B.y+A.y*B.x};
	}
	friend fs operator / (rg const fs& A,rg const double& B){
		return (fs){A.x/B,A.y/B};
	}
}a0[maxn],b0[maxn],a1[maxn],b1[maxn],w[25][maxn],p[maxn],q[maxn];
const fs I=(fs){0,1};
int wz[maxn],n,m,mod,blo;
void fft(rg fs A[],rg int lim,rg int typ){
	for(rg int i=0;i<lim;i++) if(i<wz[i]) std::swap(A[i],A[wz[i]]);
	for(rg int len=1,t0=0;len<lim;len<<=1,t0++){
		for(rg int j=0,now=len<<1;j<lim;j+=now){
			for(rg int k=0;k<len;k++){
				rg fs x=A[j+k],y=A[j+k+len]*w[t0][k];
				A[j+k]=x+y;
				A[j+k+len]=x-y;
			}
		}
	}
	if(typ==-1){
		std::reverse(A+1,A+lim);
		for(rg int i=0;i<lim;i++) A[i]=A[i]/(double)lim;
	}
}
void fftfft(rg fs A[],rg fs B[],rg int lim){
	for(rg int i=0;i<lim;i++){
		A[i]=A[i]+I*B[i];
	}
	fft(A,lim,1);
	B[0]=(fs){A[0].x,-A[0].y};
	for(rg int i=1;i<lim;i++) B[i]=(fs){A[lim-i].x,-A[lim-i].y};
	rg fs t1,t2;
	for(rg int i=0;i<lim;i++){
		t1=A[i],t2=B[i];
		A[i]=(t1+t2)/2.0;
		B[i]=(t2-t1)*I/2.0;
	}
}
long long get(rg double now){
	if(now>=0) return (long long)(now+0.5)%mod;
	else return (long long)(now-0.5)%mod;
}
int main(){
	n=read(),m=read(),mod=read();
	blo=sqrt(mod)+1;
	rg int aa;
	for(rg int i=0;i<=n;i++){
		aa=read();
		aa%=mod;
		a0[i].x=aa/blo;
		a1[i].x=aa%blo;
	}
	for(rg int i=0;i<=m;i++){
		aa=read();
		aa%=mod;
		b0[i].x=aa/blo;
		b1[i].x=aa%blo;
	}
	rg int bit=0,lim=1;
	for(;lim<=n+m;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++){
		wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	}
	for(rg int i=0,len=1;len<lim;len<<=1,i++){
		for(rg int j=0;j<len;j++){
			w[i][j]=(fs){cos(pi*j/len),sin(pi*j/len)};
		}
	}
	fftfft(a0,a1,lim),fftfft(b0,b1,lim);
	for(rg int i=0;i<lim;i++){
		p[i]=a0[i]*b0[i]+I*a1[i]*b0[i];
		q[i]=a0[i]*b1[i]+I*a1[i]*b1[i];
	}
	fft(p,lim,-1),fft(q,lim,-1);
	for(rg int i=0;i<=n+m;i++){
		long long ans=1LL*blo*blo%mod*get(p[i].x)%mod+1LL*blo*get(q[i].x+p[i].y)%mod+get(q[i].y)%mod;
		printf("%lld ",ans%mod);
	}
	return 0;
}

多項式乘法逆

如果 \(F(x)\) 只剩一項

顯然 \(G_0\) 就是 \(F_0\) 的逆元

如果有多項，可以遞迴求解

已知 \(F(x)H(x) \equiv 1 \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}\)

又因為 \(F(x)G(x) \equiv 1 \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}\)

那麼 \(F(x)(G(x)-H(x))\equiv 1 \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}\)

即 \(G(x)-H(x)\equiv 0 \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}\)

兩邊同時平方

\(G(x)^2+H(x)^2-2G(x)H(x)\equiv 0 \pmod{x^n}\)

同時乘上 \(F(x)\)

\(G(x)+F(x)H(x)^2-2H(x)\equiv 0 \pmod{x^n}\)

所以

\(G(x)=2H(x)-F(x)H(x)^2(mod{x^n})\)

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=4e5+5,mod=998244353,G=3;
int a[maxn],b[maxn],wz[maxn],n,w[23][maxn];
int delmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1-=now2,now1<0?now1+mod:now1;
}
int addmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1+=now2,now1>=mod?now1-mod:now1;
}
int mulmod(rg long long now1,rg int now2){
	return now1*=now2,now1>=mod?now1%mod:now1;
}
int ksm(rg int ds,rg int zs){
	rg int nans=1;
	while(zs){
		if(zs&1) nans=mulmod(nans,ds);
		ds=mulmod(ds,ds);
		zs>>=1;
	}
	return nans;
}
void ntt(rg int A[],rg int lim,rg int typ){
	for(rg int i=0;i<lim;i++) if(i<wz[i]) std::swap(A[i],A[wz[i]]);	
	for(rg int len=1,t0=0;len<lim;len<<=1,t0++){
		for(rg int j=0,now=len<<1;j<lim;j+=now){
			for(rg int k=0;k<len;k++){
				rg int x=A[j+k],y=mulmod(w[t0][k],A[j+k+len]);
				A[j+k]=addmod(x,y);
				A[j+k+len]=delmod(x,y);
			}
		}
	}
	if(typ==-1){
		std::reverse(A+1,A+lim);
		rg int ny=ksm(lim,mod-2);
		for(rg int i=0;i<lim;i++){
			A[i]=mulmod(A[i],ny);
		}
	}
}
int finv[maxn];
void getinv(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	if(deg==1){
		memset(B,0,maxn<<2);
		B[0]=ksm(A[0],mod-2);
		return;
	}
	getinv(A,B,(deg+1)>>1);
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<deg+deg;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	for(rg int i=0;i<deg;i++) finv[i]=A[i];
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) finv[i]=0;
	ntt(B,lim,1),ntt(finv,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) B[i]=mulmod(B[i],delmod(2,mulmod(B[i],finv[i])));
	ntt(B,lim,-1);
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) B[i]=0;
}
int main(){
	for(rg int i=0,k=1;k<maxn;k<<=1,i++){
		w[i][0]=1;
		w[i][1]=ksm(G,(mod-1)/(k<<1));
		for(rg int j=2;j<k;j++){
			w[i][j]=mulmod(w[i][j-1],w[i][1]);
		}
	}
	n=read();
	for(rg int i=0;i<n;i++) a[i]=read();
	getinv(a,b,n);
	for(rg int i=0;i<n;i++) printf("%d ",b[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

多項式開根

如果 \(F(x)\) 只剩一項

顯然如果 \(F_0=1\), \(G_0\) 就是 \(1\)

如果有多項，可以遞迴求解

已知 \(H(x)^2=F(x) \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}\)

又因為 \(G(x)^2=F(x) \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}\)

那麼 \(G(x)=H(x)\pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}\)

即 \(G(x)-H(x)\equiv 0 \pmod{x^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}}\)

兩邊同時平方

\(G(x)^2+H(x)^2-2G(x)H(x)\equiv 0 \pmod{x^n}\)

\(F(x)+H(x)^2-2G(x)H(x)\equiv 0 \pmod{x^n}\)

所以

\(G(x)=\frac{F(x)+H(x)^2}{H(x)}(mod{x^n})\)

套一個多項式求逆即可

程式碼

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=4e5+5,mod=998244353,G=3;
int a[maxn],b[maxn],wz[maxn],n,w[23][maxn];
int delmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1-=now2,now1<0?now1+mod:now1;
}
int addmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1+=now2,now1>=mod?now1-mod:now1;
}
int mulmod(rg long long now1,rg int now2){
	return now1*=now2,now1>=mod?now1%mod:now1;
}
int ksm(rg int ds,rg int zs){
	rg int nans=1;
	while(zs){
		if(zs&1) nans=mulmod(nans,ds);
		ds=mulmod(ds,ds);
		zs>>=1;
	}
	return nans;
}
void ntt(rg int A[],rg int lim,rg int typ){
	for(rg int i=0;i<lim;i++) if(i<wz[i]) std::swap(A[i],A[wz[i]]);	
	for(rg int len=1,t0=0;len<lim;len<<=1,t0++){
		for(rg int j=0,now=len<<1;j<lim;j+=now){
			for(rg int k=0;k<len;k++){
				rg int x=A[j+k],y=mulmod(w[t0][k],A[j+k+len]);
				A[j+k]=addmod(x,y);
				A[j+k+len]=delmod(x,y);
			}
		}
	}
	if(typ==-1){
		std::reverse(A+1,A+lim);
		rg int ny=ksm(lim,mod-2);
		for(rg int i=0;i<lim;i++){
			A[i]=mulmod(A[i],ny);
		}
	}
}
int finv[maxn];
void getinv(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	if(deg==1){
		memset(B,0,maxn<<2);
		B[0]=ksm(A[0],mod-2);
		return;
	}
	getinv(A,B,(deg+1)>>1);
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<deg+deg;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	for(rg int i=0;i<deg;i++) finv[i]=A[i];
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) finv[i]=0;
	ntt(B,lim,1),ntt(finv,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) B[i]=mulmod(B[i],delmod(2,mulmod(B[i],finv[i])));
	ntt(B,lim,-1);
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) B[i]=0;
}
int fsqrt1[maxn],fsqrt2[maxn];
void getsqrt(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	if(deg==1){	
		memset(B,0,maxn<<2);
		B[0]=1;
		return;
	}
	getsqrt(A,B,(deg+1)>>1);
	getinv(B,fsqrt1,deg);
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<deg+deg;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	for(rg int i=0;i<deg;i++) fsqrt2[i]=A[i];
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) fsqrt2[i]=0;
	ntt(fsqrt1,lim,1),ntt(fsqrt2,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) fsqrt1[i]=mulmod(fsqrt1[i],fsqrt2[i]);
	ntt(fsqrt1,lim,-1);
	rg int ny=ksm(2,mod-2);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) B[i]=mulmod(addmod(fsqrt1[i],B[i]),ny);
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) B[i]=0;
}
int main(){
	for(rg int i=0,k=1;k<maxn;k<<=1,i++){
		w[i][0]=1;
		w[i][1]=ksm(G,(mod-1)/(k<<1));
		for(rg int j=2;j<k;j++){
			w[i][j]=mulmod(w[i][j-1],w[i][1]);
		}
	}
	n=read();
	for(rg int i=0;i<n;i++) a[i]=read();
	getsqrt(a,b,n);
	for(rg int i=0;i<n;i++) printf("%d ",b[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

多項式求導

\[F(x)=\sum^{n}_{i=0}a_ix^i \]

\[F(x+dx)=\sum^{n}_{i=0}a_i(x+dx)^i \]

\[F(x+dx)=\sum^{n}_{i=0}a_i(\binom{i}{0}x^i+\binom{i}{1}x^{i-1}dx+\binom{i}{2}x^{i-2}dx^2+...+\binom{i}{i-1}xdx^{i-1}+\binom{i}{i}dx^i) \]

\[F(x+dx)-F(x)=\sum^{n}_{i=1}a_i(\binom{i}{1}x^{i-1}dx+\binom{i}{2}x^{i-2}dx^2+...+\binom{i}{i-1}xdx^{i-1}+\binom{i}{i}dx^i) \]

\(F'(x)=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}=\sum^{n}_{i=1}a_i\binom{i}{1}x^{i-1}\)

因為 \(dx\) 趨進於無窮小，所以後面的幾項都變成了 \(0\)

\(F'(x)=\sum^{n}_{i=0}a_{i + 1}(i+1)x^i\)

程式碼

void getdao(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	for(rg int i=1;i<deg;i++){
		B[i-1]=mulmod(A[i],i);
	}
	B[deg-1]=0;
}

多項式積分

求導的逆運算

程式碼

void getfen(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	for(rg int i=1;i<deg;i++){
		B[i]=mulmod(A[i-1],ksm(i,mod-2));
	}
	B[0]=0;
}

多項式對數函式（多項式 ln）

對兩邊同時求導

\(G(x)=F(A(x)),F(x)=ln(x)\)

\(G'(x)=F'(A(x))A'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)}\)

所以對 \(A\) 求導求個逆在積一下分就算出了 \(G\)

程式碼

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=4e5+5,mod=998244353,G=3;
int a[maxn],b[maxn],wz[maxn],n,w[23][maxn];
int delmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1-=now2,now1<0?now1+mod:now1;
}
int addmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1+=now2,now1>=mod?now1-mod:now1;
}
int mulmod(rg long long now1,rg int now2){
	return now1*=now2,now1>=mod?now1%mod:now1;
}
int ksm(rg int ds,rg int zs){
	rg int nans=1;
	while(zs){
		if(zs&1) nans=mulmod(nans,ds);
		ds=mulmod(ds,ds);
		zs>>=1;
	}
	return nans;
}
void ntt(rg int A[],rg int lim,rg int typ){
	for(rg int i=0;i<lim;i++) if(i<wz[i]) std::swap(A[i],A[wz[i]]);	
	for(rg int len=1,t0=0;len<lim;len<<=1,t0++){
		for(rg int j=0,now=len<<1;j<lim;j+=now){
			for(rg int k=0;k<len;k++){
				rg int x=A[j+k],y=mulmod(w[t0][k],A[j+k+len]);
				A[j+k]=addmod(x,y);
				A[j+k+len]=delmod(x,y);
			}
		}
	}
	if(typ==-1){
		std::reverse(A+1,A+lim);
		rg int ny=ksm(lim,mod-2);
		for(rg int i=0;i<lim;i++){
			A[i]=mulmod(A[i],ny);
		}
	}
}
int finv[maxn];
void getinv(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	if(deg==1){
		memset(B,0,maxn<<2);
		B[0]=ksm(A[0],mod-2);
		return;
	}
	getinv(A,B,(deg+1)>>1);
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<deg+deg;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	for(rg int i=0;i<deg;i++) finv[i]=A[i];
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) finv[i]=0;
	ntt(B,lim,1),ntt(finv,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) B[i]=mulmod(B[i],delmod(2,mulmod(B[i],finv[i])));
	ntt(B,lim,-1);
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) B[i]=0;
}
int fsqrt1[maxn],fsqrt2[maxn];
void getsqrt(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	if(deg==1){	
		memset(B,0,maxn<<2);
		B[0]=1;
		return;
	}
	getsqrt(A,B,(deg+1)>>1);
	getinv(B,fsqrt1,deg);
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<deg+deg;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	for(rg int i=0;i<deg;i++) fsqrt2[i]=A[i];
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) fsqrt2[i]=0;
	ntt(fsqrt1,lim,1),ntt(fsqrt2,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) fsqrt1[i]=mulmod(fsqrt1[i],fsqrt2[i]);
	ntt(fsqrt1,lim,-1);
	rg int ny=ksm(2,mod-2);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) B[i]=mulmod(addmod(fsqrt1[i],B[i]),ny);
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) B[i]=0;
}
void getdao(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	for(rg int i=1;i<deg;i++){
		B[i-1]=mulmod(A[i],i);
	}
	B[deg-1]=0;
}
void getfen(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	for(rg int i=1;i<deg;i++){
		B[i]=mulmod(A[i-1],ksm(i,mod-2));
	}
	B[0]=0;
}
int fln1[maxn],fln2[maxn];
void getln(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	memset(fln1,0,maxn<<2);
	memset(fln2,0,maxn<<2);
	getdao(A,fln1,deg);
	getinv(A,fln2,deg);
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<deg+deg;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	ntt(fln1,lim,1),ntt(fln2,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) fln1[i]=mulmod(fln1[i],fln2[i]);
	ntt(fln1,lim,-1);
	getfen(fln1,B,deg);
}
int main(){
	for(rg int i=0,k=1;k<maxn;k<<=1,i++){
		w[i][0]=1;
		w[i][1]=ksm(G,(mod-1)/(k<<1));
		for(rg int j=2;j<k;j++){
			w[i][j]=mulmod(w[i][j-1],w[i][1]);
		}
	}
	n=read();
	for(rg int i=0;i<n;i++) a[i]=read();
	getln(a,b,n);
	for(rg int i=0;i<n;i++) printf("%d ",b[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

多項式指數函式（多項式 exp）

\(F(x)\equiv F_0(x)(1-\ln F_0(x)+A(x))\pmod{x^n}\)

\(F_0(x)\) 指的是在模 \(x^{n\over 2}\) 意義下的答案

程式碼

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=4e5+5,mod=998244353,G=3;
int a[maxn],b[maxn],wz[maxn],n,w[23][maxn];
int delmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1-=now2,now1<0?now1+mod:now1;
}
int addmod(rg int now1,rg int now2){
	return now1+=now2,now1>=mod?now1-mod:now1;
}
int mulmod(rg long long now1,rg int now2){
	return now1*=now2,now1>=mod?now1%mod:now1;
}
int ksm(rg int ds,rg int zs){
	rg int nans=1;
	while(zs){
		if(zs&1) nans=mulmod(nans,ds);
		ds=mulmod(ds,ds);
		zs>>=1;
	}
	return nans;
}
void ntt(rg int A[],rg int lim,rg int typ){
	for(rg int i=0;i<lim;i++) if(i<wz[i]) std::swap(A[i],A[wz[i]]);	
	for(rg int len=1,t0=0;len<lim;len<<=1,t0++){
		for(rg int j=0,now=len<<1;j<lim;j+=now){
			for(rg int k=0;k<len;k++){
				rg int x=A[j+k],y=mulmod(w[t0][k],A[j+k+len]);
				A[j+k]=addmod(x,y);
				A[j+k+len]=delmod(x,y);
			}
		}
	}
	if(typ==-1){
		std::reverse(A+1,A+lim);
		rg int ny=ksm(lim,mod-2);
		for(rg int i=0;i<lim;i++){
			A[i]=mulmod(A[i],ny);
		}
	}
}
int finv[maxn];
void getinv(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	if(deg==1){
		memset(B,0,maxn<<2);
		B[0]=ksm(A[0],mod-2);
		return;
	}
	getinv(A,B,(deg+1)>>1);
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<deg+deg;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	for(rg int i=0;i<deg;i++) finv[i]=A[i];
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) finv[i]=0;
	ntt(B,lim,1),ntt(finv,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) B[i]=mulmod(B[i],delmod(2,mulmod(B[i],finv[i])));
	ntt(B,lim,-1);
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) B[i]=0;
}
int fsqrt1[maxn],fsqrt2[maxn];
void getsqrt(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	if(deg==1){	
		memset(B,0,maxn<<2);
		B[0]=1;
		return;
	}
	getsqrt(A,B,(deg+1)>>1);
	getinv(B,fsqrt1,deg);
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<deg+deg;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	for(rg int i=0;i<deg;i++) fsqrt2[i]=A[i];
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) fsqrt2[i]=0;
	ntt(fsqrt1,lim,1),ntt(fsqrt2,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) fsqrt1[i]=mulmod(fsqrt1[i],fsqrt2[i]);
	ntt(fsqrt1,lim,-1);
	rg int ny=ksm(2,mod-2);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) B[i]=mulmod(addmod(fsqrt1[i],B[i]),ny);
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) B[i]=0;
}
void getdao(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	for(rg int i=1;i<deg;i++){
		B[i-1]=mulmod(A[i],i);
	}
	B[deg-1]=0;
}
void getfen(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	for(rg int i=1;i<deg;i++){
		B[i]=mulmod(A[i-1],ksm(i,mod-2));
	}
	B[0]=0;
}
int fln1[maxn],fln2[maxn];
void getln(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	memset(fln1,0,maxn<<2);
	memset(fln2,0,maxn<<2);
	getdao(A,fln1,deg);
	getinv(A,fln2,deg);
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<deg+deg;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	ntt(fln1,lim,1),ntt(fln2,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) fln1[i]=mulmod(fln1[i],fln2[i]);
	ntt(fln1,lim,-1);
	getfen(fln1,B,deg);
}
int fexp1[maxn],fexp2[maxn];
void getexp(rg int A[],rg int B[],rg int deg){
	if(deg==1){
		memset(B,0,maxn<<2);
		B[0]=1;
		return;
	}
	getexp(A,B,(deg+1)>>1);
	getln(B,fexp1,deg);
	rg int lim=1,bit=0;
	for(;lim<deg+deg;lim<<=1) bit++;
	for(rg int i=0;i<lim;i++) wz[i]=(wz[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
	for(rg int i=0;i<deg;i++) fexp2[i]=A[i];
	ntt(fexp1,lim,1),ntt(fexp2,lim,1),ntt(B,lim,1);
	for(rg int i=0;i<lim;i++) B[i]=mulmod(B[i],addmod(delmod(1,fexp1[i]),fexp2[i]));
	ntt(B,lim,-1);
	for(rg int i=deg;i<lim;i++) B[i]=0;
}
int main(){
	for(rg int i=0,k=1;k<maxn;k<<=1,i++){
		w[i][0]=1;
		w[i][1]=ksm(G,(mod-1)/(k<<1));
		for(rg int j=2;j<k;j++){
			w[i][j]=mulmod(w[i][j-1],w[i][1]);
		}
	}
	n=read();
	for(rg int i=0;i<n;i++) a[i]=read();
	getexp(a,b,n);
	for(rg int i=0;i<n;i++) printf("%d ",b[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

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