每次複習完下一次都會忘，這次下定決心一定要記下來！！！
FFT 和 NTT
板子，直接拿過來（包括了其他的定義）：
int n, m, rev[maxn];
int qpow(int x, int k, int p) {
int res = 1;
while(k) {
if(k & 1)
res = res * x % p;
k >>= 1, x = x * x % p;
}
return res;
}
void prepare(int len) {
for (int i = 0; i < len; i++) {
rev[i] = rev[i >> 1] >> 1;
if(i & 1)
rev[i] |= len >> 1;
}
}
struct Poly {
vector<int> a;
int size() {
return a.size();
}
int& operator[](int x) {
return a[x];
}
void resize(int N) {
a.resize(N);
}
void NTT(int f) {
for (int i = 1; i < a.size(); i++)
if(i < rev[i])
swap(a[rev[i]], a[i]);
for (int h = 2; h <= a.size(); h <<= 1) {
int d = qpow((f == 1 ? gb : gi), (mod - 1) / h, mod);
for (int i = 0; i < a.size(); i += h) {
int nw = 1;
for (int j = i; j < i + h / 2; j++) {
int a0 = a[j], a1 = a[j + h / 2] * nw % mod;
a[j] = (a0 + a1) % mod, a[j + h / 2] = (a0 - a1 + mod) % mod;
nw = nw * d % mod;
}
}
}
if(f == -1) {
int inv = qpow(a.size(), mod - 2, mod);
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
a[i] = a[i] * inv % mod;
}
}
void read() {
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
cin >> a[i];
}
void print() {
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
cout << a[i] << " ";
cout << endl;
}
friend Poly operator*(Poly f, Poly g) {
int len = 1, t = f.size() + g.size() - 1;
while(len < t)
len <<= 1;
prepare(len);
f.resize(len), g.resize(len);
f.NTT(1), g.NTT(1);
for (int i = 0; i < len; i++)
f[i] = f[i] * g[i] % mod;
f.NTT(-1); f.resize(t);
return f;
}
}
多項式求逆
假設我們已經求出來了：
\[A\times B'\equiv 1 \pmod {x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}}
\]
那麼我們要求：
\[A\times B\equiv 1\pmod {x^{n}}
\]
我們先做差，得到：
\[(B - B')\equiv 0\pmod {x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}}
\]
然後平方，得到：
\[(B-B')^2\equiv 0\pmod {x^n}
\]
\[B^2 - 2BB' + B'^2 \equiv 0\pmod {x^n}
\]
左右同時乘 \(A\)，得到：
\[B-2B'+AB'^2\equiv 0\pmod {x^n}
\]
\[B\equiv-AB'^2+2B' \pmod {x^n}
\]
按這個柿子計算即可，注意沒有必要把 NTT 出來的結果直接 NTT 回來，可以直接乘起來加起來。
Poly get_inv(Poly f, int lim) {
if(lim == 1) {
Poly ans; ans.resize(1);
ans[0] = qpow(f[0], mod - 2, mod);
return ans;
}
Poly ans = get_inv(f, lim + 1 >> 1);
int len = 1;
while(len < lim * 2)
len <<= 1;
prepare(len);
f.resize(lim), f.resize(len), ans.resize(len);
f.NTT(1), ans.NTT(1);
for (int i = 0; i < len; i++)
ans.a[i] = ans.a[i] * (2 - f.a[i] * ans.a[i] % mod + mod) % mod;
ans.NTT(-1);
ans.resize(lim);
return ans;
}
注意，這裡需要先 f.resize(lim)，因為我們需要排除多餘的位。
多項式除法
我們記 \(F_R(x) = x^nF(\frac{1}{x})\)，那麼就有：
\[F(x) = G(x)Q(x)+R(x)
\]
\[F(\frac{1}{x})=G(\frac{1}{x})Q(\frac{1}{x})+R(\frac{1}{x})
\]
\[x^nF(\frac{1}{x}) = x^mG(\frac{1}{x})x^{n-m}Q(\frac{1}{x})+x^{n-m+1}\times x^{m-1}R(\frac{1}{x})
\]
\[\]