數論函式群在數論多項式生成函式集上的作用

Square_Circle發表於2021-10-22
函式

數論函式群在數論多項式生成函式集上的作用

導言：本論文的內容是在研究數論中的莫比烏斯反演函式時，由分圓多項式的性質以及分圓多項式與尤拉函式的對應關係所引發的一系列遐想。此文僅為展現其精妙的結構，實際作用暫無。

§1.定義

【定義1.1】數論函式群

​ 數論函式群 \(\mathfrak{f}\) 意味著集合[1]：

\[\mathfrak{f}=\{f \vert f\colon\mathbb{N}^*\to\mathbb{Z}\} \]

以及其上的運算 \(*\) （狄利克雷卷積）：

\[(f*g)(n)=\sum_{d \mid n}{f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)} =\sum_{d \mid n}{f\left(\frac{n}{d}\right)g(d)} \]

容易驗證這是一個交換群。單位元為函式 \(e\) ：

\[e(n)= \left\{ \begin{align*} &1 &&n=1 \\ &0 &&n\neq1 \end{align*} \right. \]

【定義1.2】數論多項式生成函式

​ 稱集合 \(\mathfrak{F}\) ：

\[\mathfrak{F}=\{F \vert F\colon\mathbb{N}^*\to \mathbb{Z}[x]\} \]

為數論多項式生成函式集。其中的元素 \(F\in\mathfrak{F}\) 稱為數論多項式生成函式。

【定義1.3】（么半）群作用[2]

​ 設 \(X\) 為集合， \(M\) 為（么半）群。\(M\) 在 \(X\) 上的作用定義為一個對映

\[a\colon M \times X\to X \]

稱為作用對映，它必須滿足以下性質：
\((\text{i})\) 對所有 \(g,g'\in M\) 和 \(x\in X\) ，有 \(a(g',a(g,x))=a(g'g,x)\) （結合律），
\((\text{ii})\) 對所有 \(x\in X\) ，有 \(a(1,x)=x\) 。
帶有 \(M\) 作用的集合稱為 \(M\)-集。

​ 習慣將 \(M\)-集帶有的作用對映略去，並將 \(a(m,x)\) 寫成 \(m\cdot x\) 或 \(mx\) ，如此作用對映的條件即：

\[m'(mx)=(m'm)x \\ 1\cdot x=x \\ \]

【定義1.4】等變對映[2:1]

​ 對於（么半）群 \(M\) ， \(M\) 對集合 \(X,Y\) 分別有作用對映 \(a\colon M \times X\to X\) 和 \(b\colon M \times Y\to Y\) 。若兩 \(M\)-集間的對映 \(f\colon X\to Y\) 滿足：

\[f(a(m,x))=b(m,f(x)) \qquad m\in M,x\in X \]

則稱為 \(M\)-等變對映。若將 \(a(m,x)\) 寫成 \(mx\) ，\(b(m,y)\) 寫成 \(m\times y\)，這定義也就是：

\[f(mx)=m\times f(x) \]

§2.作用

—1.證明

【定義2.1】數論函式群在數論多項式生成函式集上的作用

定義 \(\mathfrak{f}\) 對 \(\mathfrak{F}\) 的作用對映 \(a\colon \mathfrak{f}\times\mathfrak{F}\to\mathfrak{F}\) （簡記做 \(\cdot\) ）如下：

\[(f\cdot F)(n)=\prod_{d\mid n}{F(d)^{f\left(\frac{n}{d}\right)}} =\prod_{d\mid n}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{f(d)}} \qquad f\in\mathfrak{f},F\in\mathfrak{F} \]

​ 下面證明其良定。

​ 對於【定義1.3】\((\text{ii})\) ，顯然：

\[(e\cdot F)(n)=\prod_{d\mid n}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{e(d)}} =F(n)^1\cdot\prod_{d\mid n,d\neq1}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{0}} =F(n) \qquad F\in\mathfrak{F} \]

滿足條件。

​ 對於【定義1.3】\((\text{i})\) ，取 \(f,g\in\mathfrak{f}\) ， \(F\in\mathfrak{F}\) ，定義：

\[G=g\cdot(f\cdot F)\\ G'=(g*f)\cdot F \]

下證 \(G=G'\) 。根據定義，展開 \(G\) 和 \(G'\) ：

\[G(n)=(g\cdot(f\cdot F))(n) =\prod_{d\mid n}{(f\cdot F)\left(\frac{n}{d}\right)^{g(d)}} =\prod_{d\mid n}{\left(\prod_{k\mid\frac{n}{d}}{F(k)^{f\left(\frac{n}{dk}\right)}}\right)^{g(d)}} =\prod_{d\mid n}{\prod_{k\mid\frac{n}{d}}{F(k)^{f\left(\frac{n}{dk}\right)g(d)}}} \]

\[G'(n)=((g*f)\cdot F) =\prod_{k\mid n}{F(k)^{(g*f)\left(\frac{n}{k}\right)}} =\prod_{k\mid n}{F(k)^{\sum_{d\mid\frac{n}{k}}{f\left(\frac{n}{dk}\right)g(d)}}} =\prod_{k\mid n}{\prod_{d\mid\frac{n}{k}}{F(k)^{f\left(\frac{n}{dk}\right)g(d)}}} \]

由 \(d\mid n,k\mid\frac{n}{d}\) 當且僅當 \(k\mid n,d\mid\frac{n}{k}\) ，故上下兩式的兩層列舉效果相同，所以 \(G=G'\) ，滿足條件。

​ 綜上，我們定義了數論函式群 \(\mathfrak{f}\) 在數論多項式生成函式集 \(\mathfrak{F}\) 上的作用。

—2.應用

​ 定義三個數論多項式生成函式 \(\Sigma,\text{ID},\Phi \in\mathfrak{F}\) 如下：

\[\begin{align*} \Sigma(n) & =\prod_{d\mid n}{(x^d-1)} \\ \text{ID}(n) & =x^n-1 \\ \Phi(n) & =\text{n階分圓多項式}=\prod_{d<n,\gcd(d,n)=1}{\left(x-e^{\frac{d}{n}2\pi i}\right)} \end{align*} \]

以及四個個數論函式（恆一函式、約數個數函式、莫比烏斯反演函式、莫比烏斯函式的自卷積）：

\[\begin{align*} \text{i}(n) &= 1 \\ \text{d}(n) &=(\text{i}*\text{i})(n) =\sum_{d\mid n}{1} \\ \mu(n) &= \left\{ \begin{aligned} & 0 && \text{n有非平凡平方因子} \\ & (-1)^k && \text{n的質因子個數為k} \end{aligned} \right. \\ \text{m}(n) &= (\mu*\mu)(n) =\left\{ \begin{aligned} & 0 && \text{n有非平凡立方因子} \\ & (-2)^k && \text{n的非平方質因子個數為k} \end{aligned} \right. \\ \end{align*} \]

其中 \(\text{i}*\mu=e\) ， \(\text{d}*\text{m}=e\) ，也就是其間有兩對互逆關係。

​ 我們有連等式（上下兩式由如上兩對互逆關係的存在而等價）：

\[\begin{matrix} &\Sigma &=& \text{i} \cdot \text{ID} &=& \text{i}\cdot(\text{i}\cdot\Phi) &=& (\text{i}*\text{i})\cdot \Phi &=& \text{d}\cdot \Phi \\ &\Phi &=& \mu\cdot\text{ID} &=& \mu\cdot(\mu\cdot\Sigma) &=& (\mu*\mu)\cdot\Sigma &=& \text{m}\cdot\Sigma \end{matrix} \]

這實則是分圓多項式的性質：

\[x^n-1=\prod_{d\mid n}{\Phi_d(x)}\ ,\ \Phi_n(x) =\prod_{d\mid n}{(x^d-1)^{\mu\left(\frac{n}{d}\right)}} \]

​ 對於三個數論多項式生成函式 \(\Sigma,\text{ID},\Phi \in\mathfrak{F}\) ，可以發現分別與之對應的三個數論函式 \(\sigma,\text{id},\varphi\in\mathfrak{f}\) （約數和函式，恆等函式，尤拉函式）：

\[\begin{align*} \sigma(n) & =\prod_{d\mid n}{d} \\ \text{id}(n) & =n \\ \varphi(n) & =\prod_{d<n,\gcd(d,n)=1}{1} \end{align*} \]

它們滿足近似的連等式：

\[\begin{matrix} &\sigma &=& \text{i}\ *\text{id} &=& \text{i}*\text{i}*\varphi &=& \text{d}*\varphi \\ &\varphi &=& \mu*\text{id} &=& \mu*\mu*\sigma &=& \text{m}*\sigma \end{matrix} \]

如果將 \(\mathfrak{f}\) 上的運算看作 \(\mathfrak{f}\) 在自身上的作用（容易驗證這個作用良定），並定義一個 \(\mathfrak{f}\)-等變對映 \(\chi\colon \mathfrak{f}\to\mathfrak{F}\) ，那麼如上的兩組連等式相當於說：

\[\chi(\sigma)=\Sigma \ ,\ \chi(\text{id})=\text{ID} \ ,\ \chi(\varphi)=\Phi \]

§3.對映

​ 現在細觀所定義的 \(\mathfrak{f}\)-等變對映 \(\chi\colon \mathfrak{f}\to\mathfrak{F}\) ，由【定義1.4】：

\[\chi(g*f)=g\cdot\chi(f)\qquad f,g\in\mathfrak{f} \]

令其中的 \(f=e\) ，則對任意 \(g\in\mathfrak{f}\) ，有：

\[\chi(g)=\chi(g*f)=g\cdot\chi(e) \]

也就是說，如果定義了 \(\chi(e)\) ，就可以由上式定義出任意 \(g\in\mathfrak{f}\) 的 \(\chi(g)\in\mathfrak{F}\) 。

​ 反之，對於給定的一組互不矛盾的：

\[F_i=\chi(f_i) \qquad \{f_i\}\in\mathfrak{f},\{F_i\}\in\mathfrak{F} \]

總能解出合適的 \(\chi(e)=f_i^{-1}\cdot F_i\) 使其滿足上述一切條件。下面簡單說明其對任意 \(i\) 的一致性：若對於 \(f_i,f_j\in\mathfrak{f}\) ，有 \(f_i=g*f_j\ (g\in\mathfrak{F})\) ，則 \(f_j^{-1}=f_i^{-1}*g\) ，那麼：

\[\chi(e)=f_i^{-1}\cdot F_i =f_i^{-1}\cdot\chi(g*f_j)=f_i^{-1}\cdot(g\cdot\chi(f_j)) =(f_i^{-1}*g)\cdot F_j=f_j^{-1}\cdot F_j \]

無矛盾。故 \(\chi(e)=f_i^{-1}\cdot F_i\) 良定。

​ 由上，我們就可以根據所需，選取合適的 \(E=\chi(e)\in\mathfrak{F}\) ，從而匯出一整套 \(\mathfrak{f}\) 到 \(\mathfrak{F}\) 的對應。例如基於 \(\chi(\text{id})=\text{ID}\) ，定義：

\[E(n)=\chi(e)(n)=(\text{id}^{-1}\cdot\text{ID})(n) =\prod_{d\mid n}{(x^{\frac{n}{d}}-1)^{d\mu(d)}} \]

則容易驗證 §2.—1. 中的 \(\Phi=\chi(\varphi)=\varphi\cdot\chi(e)\ , \ \Sigma=\chi(\sigma)=\sigma\cdot\chi(e)\) 。

§4.推廣

​ 由於對群作用的證明中只使用了數論函式定義域為自然數這一性質，我們可以自然地做出推廣。

【定義4.1】廣義數論函式群

​ 廣義數論函式群 \(\mathcal{F}\) 意味著集合（其中 \(R\) 為交換環，加、乘法么元為 \(0,1\) ）：

\[\mathcal{F}=\{f \vert f\colon\mathbb{N}^*\to R\} \]

以及其上的運算 \(*\) ：

\[(f*g)(n)=\sum_{d \mid n}{f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)} =\sum_{d \mid n}{f\left(\frac{n}{d}\right)g(d)} \]

容易驗證這是一個交換群。其單位元為 \(e_f\) ：

\[e_f(n)= \left\{ \begin{align*} &1 &&n=1 \\ &0 &&n\neq1 \end{align*} \right. \]

【定義4.2】廣義數論生成函式

​ 稱集合 \(\mathscr{F}\) （其中 G 為交換群）：

\[\mathscr{F}=\{F \vert F\colon\mathbb{N}^*\to G\} \]

為廣義數論生成函式集。其中的元素 \(F\in\mathscr{F}\) 稱為廣義數論多生成函式。

【定義4.3】指數作用

​ 對於交換環 \(R\) （其運算定義為 \(+\) 和 \(\cdot\) ，加、乘法么元為 \(0,1\) ）和交換群 \(G\) （其運算為 \(\times\) ，么元為 \(e\) ），定義作用對映 \(a\colon R\times M\to M\) （記 \(a(r,m)\) 為 \(m^r\) ），滿足（ \(r_1,r_2\in R,m\in M\) ）：

\[(m^{r_1})^{r2}=m^{r_1r_2} \\ m^{r_1}\times m^{r_2}=m^{r_1+r_2} \\ m^0=e,m^1=m \]

則稱此作用為 \(R\) 在 \(M\) 上的指數作用。

【定義4.4】廣義數論函式群在廣義數論生成函式集上的作用：

​ 對於一個廣義數論函式群 \(\mathcal{F}\) ：

\[\mathcal{F}=\{f \vert f\colon\mathbb{N}^*\to R\} \]

和一個廣義數論生成函式集 \(\mathscr{F}\) ：

\[\mathscr{F}=\{f \vert f\colon\mathbb{N}^*\to M\} \]

若 \(R\) 在 \(M\) 上有指數作用，定義 \(\mathcal{F}\) 對 \(\mathscr{F}\) 的作用對映 \(a\colon \mathcal{F}\times\mathscr{F}\to\mathscr{F}\) （簡記做 \(\cdot\) ）如下：

\[(f\cdot F)(n)=\prod_{d\mid n}{F(d)^{f\left(\frac{n}{d}\right)}} =\prod_{d\mid n}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{f(d)}} \qquad f\in\mathcal{F},F\in\mathscr{F} \]

​ 【定義4.4】的良定性可同 §2.—1. 證明。

\[\ \\ \ \\ \ \mathtt{Square-Circle} : 2021.10.15 \sim 2021.10.22 \ \\ \]

  1. \(\mathbb{N}^*\) 正整數集合； \(\mathbb{Z}\) 整數集合； \(\mathbb{Z}[x]\) 整係數多項式集合。 ↩︎

  2. 李文威.代數學方法（第一卷）基礎架構M.北京:高等教育出版社,2019.111-112，為行文流暢有刪改。 ↩︎ ↩︎

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