二項式定理+數列

我是。發表於2020-10-12

一、二項式定理

1、公式：

( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b 1 + ⋯ + C n r a n − r b r + ⋯ + C n n b n ( n ∈ N ∗ ) (a+b)^n = C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b^1+\cdots+C_{n}^ra^{n-r}b^r+\cdots+C^n_nb^n(n\in N^*) (a+b)n=Cn0​an+Cn1​an−1b1+⋯+Cnr​an−rbr+⋯+Cnn​bn(n∈N∗)

2、基本概念

  • 二項式展開式：等式右邊就是 ( a + b ) n (a+b)^n (a+b)n的二項展開式拉

  • 項數：二項式展開式中一共有 n + 1 n+1 n+1項

  • 二項式係數： C n r ( r = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n ) C_n^r(r=0,1,2,\cdots,n) Cnr​(r=0,1,2,⋯,n)是第 n + 1 n+1 n+1項的二項式係數（記得是第n+1項噢）

  • 通項：展開式的第 r + 1 r+1 r+1項，即 T r + 1 = C n r a n − r b r T_{r+1}=C_{n}^ra^{n-r}b^r Tr+1​=Cnr​an−rbr

3、性質

  • 對稱性：首末兩端等距離的任意兩項的二項式係數相等，即 C n m = C n n − m C_n^m = C_n^{n-m} Cnm​=Cnn−m​

  • 增減性與最值：二項式係數先增後減並且在中間取得最大值

    • 當n為偶數時，係數最大值為 C n n 2 C_n^{\frac{n}{2}} Cn2n​​
    • 當n為奇數時，中間兩項相等且最大值 C n n − 1 2 = C n n + 1 2 C_{n}^{\frac{n-1}{2}} = C_n^{\frac{n+1}{2}} Cn2n−1​​=Cn2n+1​​

  • 二項式係數的和：

    • C n 0 + C n 1 + C n 2 + ⋯ + C n k + ⋯ + C n n = 2 n C_n^0 + C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^k+\cdots+C_n^n = 2^n Cn0​+Cn1​+Cn2​+⋯+Cnk​+⋯+Cnn​=2n

    • 奇數項的二項式係數的和等於偶數項的二項數係數的和，即 C n 0 + C n 2 + ⋯ = C n 1 + C n 3 + ⋯ = 2 n − 1 C_n^0+C_n^2+\cdots=C_n^1+C_n^3+\cdots=2^{n-1} Cn0​+Cn2​+⋯=Cn1​+Cn3​+⋯=2n−1

二、等差數列

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等比數列

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