一、 二元關係

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$n$ 元關係 :

元素 都是 有序 $n$ 元組的集合 ;

$n$ 元關係示例 :

3 元關係 : F 1 = { < 1 , 2 , 3 > , < a , b , c > , < 數 學 , 物 理 , 化 學 > } F_1 = \{ <1, 2, 3> , <a, b, c> , <數學 , 物理 , 化學> \} F1​={<1,2,3>,<a,b,c>,<數學,物理,化學>}

$F_1$ 是 $3$ 元關係 , 其每個元素都是 有序 $3$ 元組 ;

4 元關係 : F 2 = { < 1 , 2 , 3 , 4 > , < a , b , c , d > , < 語 文 , 數 學 , 物 理 , 化 學 > } F_2 = \{ <1, 2, 3, 4> , <a, b, c, d> , <語文 , 數學 , 物理 , 化學> \} F2​={<1,2,3,4>,<a,b,c,d>,<語文,數學,物理,化學>}

$F_2$ 是 $4$ 元關係 , 其每個元素都是 有序 $4$ 元組 ;

上述有序 $n$ 元組 , 個數相同 , 元素性質可以不同 ;

二、 二元關係記法

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如果 $F$ 是二元關係 ( $F$ 是有序 $2$ 元組集合 )

則有 :

$<x,y>\in F$

$\iff$

$x與y有F關系$

$\iff$

$xFy$

二元關係記法 :

① 中綴記法 ( infix ) : $xFy$

② 字首記法 ( prefix ) : $F(x,y)$ , 或 $Fxy$

③ 字尾記法 ( suffix ) : $<x,y>\in F$ , 或 $xyF$

如 : $2<5$ , $2$ 小於 $5$ ;

① 中綴記法 ( infix ) : $2<5$

② 字首記法 ( prefix ) : $<(2,5)$

③ 字尾記法 ( suffix ) : $<2,5>\in <$

三、 A 到 B 的二元關係

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$A$ 到 $B$ 的二元關係概念 :

$A\times B$ 的 任意子集 是 $A$ 到 $B$ 的二元關係

$\iff$

$R\subseteq A\times B$

$\iff$

$R\in P(A\times B)$

$A$ 到 $B$ 的二元關係 其中可能有 $1$ 個集合 , $2$ 個集合 , $\cdots$ , $n$ 個集合 ;

四、 A 到 B 的二元關係個數

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$A$ 到 $B$ 的二元關係個數 :

$|A|=m$ , $|B|=n$

$A$ 集合元素個數 $m$ 個 , $B$ 集合元素個數 $n$ 個 ;

有序對個數 : $|A\times B|=mn$

二元關係 個數 : $|P(A\times B)=2^{mn}|$ , 即 上述 $mn$ 個有序對總集合的 冪集 個數 ;

$A$ 到 $B$ 的二元關係個數 = $A\times B$ 冪集個數 = $2^{mn}$ 個

五、 A 到 B 的二元關係舉例

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A = { a 1 , a 2 } A = \{a_1, a_2\} A={a1​,a2​} , B = { b } B = \{ b \} B={b}

$A$ 集合 與 $B$ 集合的卡氏積是 :

A × B = { ∅ , { < a 1 , b > } , { < a 2 , b > } } A \times B = \{ \varnothing, \{ <a_1 , b> \} , \{ <a_2 , b> \} \} A×B={∅,{<a1​,b>},{<a2​,b>}}

分析 : 其中有 $3$ 個有序對 , 其二元關係個數有 $2^{2\times 1}=4$ 個 , 即 上述 有序對集合的冪集 , 分別是 有 $0$ 個有序對的個數 $0$ 個 , $1$ 個有序對的個數 $2$ 個 , $2$ 個有序對個數 $1$ 個 ;

$A$ 集合 到 $B$ 集合的 二元關係 : 有 $4$ 個 ;

$R_1=\varnothing$ , $a_1$ 與 $b$ 沒有關係 , $a_2$ 與 $b$ 沒有關係 ;

R 2 = { < a 1 , b > } R_2 = \{ <a_1 , b> \} R2​={<a1​,b>} , $a_1$ 與 $b$ 有關係 , $a_2$ 與 $b$ 沒有關係 ;

R 3 = { < a 2 , b > } R_3 = \{ <a_2 , b> \} R3​={<a2​,b>} , $a_1$ 與 $b$ 有關係 , $a_2$ 與 $b$ 沒有關係 ;

R 4 = { < a 1 , b > , < a 2 , b > } R_4 = \{ <a_1 , b> , <a_2, b> \} R4​={<a1​,b>,<a2​,b>} , $a_2$ 與 $b$ 有關係 , $a_1$ 與 $b$有關係 ;

$B$ 集合 與 $A$ 集合的卡氏積是 :

A × B = { ∅ , { < b , a 1 > } , { < b , a 2 > } } A \times B = \{ \varnothing, \{ <b, a_1 > \} , \{ <b, a_2 > \} \} A×B={∅,{<b,a1​>},{<b,a2​>}}

分析 : 其中有 $3$ 個有序對 , 其二元關係個數有 $2^{2\times 1}=4$ 個 , 即 上述 有序對集合的冪集 , 分別是 有 $0$ 個有序對的個數 $0$ 個 , $1$ 個有序對的個數 $2$ 個 , $2$ 個有序對個數 $1$ 個 ;

$B$ 集合 到 $A$ 集合的 二元關係 : 有 $4$ 個 ;

$R_5=\varnothing$ , $b$ 與 $a_1$ 沒有關係 , $b$ 與 $a_2$ 沒有關係 ;

R 6 = { < b , a 1 > } R_6 = \{ <b, a_1 > \} R6​={<b,a1​>} , $b$ 與 $a_1$ 有關係 , $b$ 與 $a_2$ 沒有關係 ;

R 7 = { < b , a 2 > } R_7 = \{ <b, a_2> \} R7​={<b,a2​>} ,$b$ 與 $a_1$ 沒有關係 , $b$ 與 $a_2$ 有關係 ;

R 8 = { < b , a 1 > , < b , a 2 > } R_8 = \{ <b, a_1 > , <b, a_2> \} R8​={<b,a1​>,<b,a2​>} , $b$ 與 $a_1$ 有關係 , $b$ 與 $a_2$ 有關係 ;