一、閉包求法

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$R$ 關係是 $A$ 集合上的二元關係 , $R\subseteq A$ , 且 $A$ 集合不為空集 , $A\ne \varnothing$

求自反閉包 : $r(R)=R\cup I_A$ , 給每個頂點新增環 ;

• 如果 $R$ 關係是自反的 , 當且僅當 , $I_A\subseteq R$

求對稱閉包 : $s(R)=R\cup R^{-1}$

• 原來 沒有有向邊 ( 有序對 ) , 自然也沒有對應的逆 , 此時不新增邊
• 原來 有一條有向邊 ( 有序對 ) , 再新增一個反向的有向邊 , 組成 關係圖中的 頂點間的 雙向有向邊
• 原來 有兩條有向邊 ( 有序對 ) , 此時就不用新增其它邊
• 如果 $R$ 關係是對稱的 , 當且僅當 , $R=R^{-1}$

求傳遞閉包 : $t(R)=R\cup R^2\cup R^3\cup \cdots$

將 $R$ 關係所有的冪運算值並起來 , 就是其傳遞閉包 , $R$ 關係的 $1$ 次冪 , $R$ 關係的 $2$ 次冪 , $R$ 關係的 $3$ 次冪 , $\cdots$ , $R$ 關係的 $n$ 次冪 , 並起來 , 就是其傳遞閉包 ;

如果 $A$ 是有窮集 , 其關係也是有窮的 , 求出其所有的 $n$ 次冪 , 不用求出很多冪運算 , 因為關係的冪運算後面都是迴圈的 , 求出已知的所有 $n$ 次冪 取 並集即可 ;

如果 $R$ 關係是傳遞的 , 當且僅當 , $R^2\subseteq R$

二、求閉包示例 ( 關係圖角度 )

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集合 A = { a , b , c , d } A = \{ a, b, c , d \} A={a,b,c,d}

關係 R = { < a , b > , < b , a > , < b , c > , < c , d > } R = \{ <a,b> , <b,a> , <b,c> , <c,d> \} R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

求關係 $R$ 的自反閉包 $r(R)$ , 對稱閉包 $s(R)$ , 傳遞閉包 $t(R)$

求自反閉包 : 就是給每個頂點加上環 :

求對稱閉包 : 將 頂點間 單向邊改成雙向邊 , 不管 頂點間雙向邊 和 頂點間沒有邊 的情況 ;

求傳遞閉包 : 將能到的點直接連起來 ;

• a 可以到 b , 路徑 a -> b ; a 可以到 c , 路徑是 a -> b -> c ; a 可以到 d , 路徑是 a -> b -> c -> d ; 因此新增 a 到 c , d 的有向邊 ;
• b 可以到 a , 路徑 b -> a ; b 可以到 c , 路徑是 b -> c ; b 可以到 d , 路徑是 b -> c -> d ; 因此新增 b 到 d 的有向邊 ;
• c 可以到 d , 路徑 c -> d ; 沒有可連線的邊 ;
• d 哪都到不了 , 沒有可連線的邊 ;
• 另外出現雙向邊時 , 兩個頂點必須加環 ;

三、求閉包示例 ( 關係矩陣角度 )

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關係 R = { < a , b > , < b , a > , < b , c > , < c , d > } R = \{ <a, b> , <b,a> , <b,c> , <c,d> \} R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

使用關係矩陣方法求其 自反閉包 , 對稱閉包 , 傳遞閉包 ;

將上述關係寫成矩陣形式為 :

$M(R)=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

自反閉包 : 將主對角線值 , 全部改成 $1$ , 左上角到右下角為主對角線 ;

$M(r(R))=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ & & & \\ 1& 1& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 1& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

對稱閉包 : 主對角線兩端要對稱 , 以對角線為基準 , 使對角線兩邊的值對稱 ;

$M(s(R))=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 1& 0& 1\\ & & & \\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

傳遞閉包 : 求該關係矩陣的 二次冪 , 三次冪 , 四次冪 , $\cdots$ , 直到出現相同的迴圈的值為止 ;

將上述所有的不同的 矩陣冪運算 進行邏輯相加 ( 或 ) 操作 , 就是其傳遞閉包對應的矩陣 , 計算機演算法適合使用該方法 , 如果人計算 , 還是關係圖比較形象 ;

參考 : 【集合論】關係表示 ( 關係矩陣 | 關係矩陣示例 | 關係矩陣性質 | 關係矩陣運算 | 關係圖 | 關係圖示例 | 關係表示相關性質 ) 四、關係矩陣運算

注意逆序合成

$M(R^2)=M(R\circ R)=M(R)\bullet M(R)=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 1& 0& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

$M(R^3)=M(R^2\circ R)=M(R)\bullet M(R^2)=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 1& 0& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ & & & \\ 1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

$M(R^4)=M(R^3\circ R)=M(R)\bullet M(R^3)=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ & & & \\ 1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 1& 0& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=M(R^2)$

因此其 $R^4$ 之後的冪運算值 , 偶數次冪關係矩陣與 $M(R^2)$ 值相同 , 奇數次冪關係矩陣與 $M(R^3)$ 值相同 ;

$M(t(R))=M(R)\vee M(R^2)\vee M(R^3)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ & & & \\ 1& 1& 1& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

四、閉包運算與關係性質

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	自反性	對稱性	傳遞性
$r(R)$	$1$ ( 本身性質 )	$1$	$1$
$r(R)$	$1$	$1$ ( 本身性質 )
$r(R)$	$1$	$1$	$1$ ( 本身性質 )

上述表格中值為 $1$ , 說明原來存在該性質 , 求對應的 自反/對稱/傳遞 閉包後 , 仍具有該性質 , 反之不具有該性質 ;

表格第二行含義 : $r(R)$ 對應的行 ;

• 自反性 : 假如 $R$ 原來是自反的 , 那麼 $r(R)$ 也是自反的 ;
• 對稱性 : 假如 $R$ 原來是對稱的 , 那麼 $r(R)$ 也是對稱的 ; 求自反閉包 , 只是給頂點加環 , 不影響對稱性 ;
• 傳遞性 : 假如 $R$ 原來是傳遞的 , 那麼 $r(R)$ 也是傳遞的 ; 求自反閉包 , 只是給頂點加環 , 不影響傳遞性 ;

僅有一個特例 : 原來 $R$ 是傳遞的 , 如果求對稱閉包 , 其對稱閉包的傳遞性就不存在了 ;

表格第二列說明 ( 自反性 ) : 如果 $R$ 關係是自反的 , 那麼其 對稱閉包 $s(R)$ 和 傳遞閉包 $t(R)$ 也是自反的 ;

$$R自反\Rightarrow s(R)和t(R)自反$$

表格第三列說明 ( 對稱性 ) : 如果 $R$ 關係是對稱的 , 那麼其 自反閉包 $r(R)$ 和 傳遞閉包 $t(R)$ 也是對稱的 ;

$$R對稱\Rightarrow r(R)和t(R)對稱$$

表格第四列說明 ( 傳遞性 ) : 如果 $R$ 關係是傳遞的 , 那麼其 自反閉包 $r(R)$ 也是傳遞的 ;

$$R傳遞\Rightarrow r(R)傳遞$$

五、閉包複合運算

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$R$ 關係是 $A$ 集合上的二元關係 , $R\subseteq A$ , 且 $A$ 集合不為空集 , $A\ne \varnothing$

1. $rs(R)=sr(R)$ :

• rs( R ) : 先求 $R$ 關係的 自反閉包 , 然後再求自反閉包的 對稱閉包
• sr( R ) : 先求 $R$ 關係的對稱閉包 , 然後再求對稱閉包的自反閉包
• 上述兩個閉包運算的 結果相同

2. $rt(R)=tr(R)$

• rt( R ) : 先求 $R$ 關係的 自反閉包 , 然後再求自反閉包的 傳遞閉包
• tr( R ) : 先求 $R$ 關係的傳遞閉包 , 然後再求傳遞閉包的自反閉包
• 上述兩個閉包運算的 結果相同

3. $st(R)\subseteq ts(R)$

• st( R ) : 先求 $R$ 關係的 對稱閉包 , 然後再求對稱閉包的 傳遞閉包
• ts( R ) : 先求 $R$ 關係的傳遞閉包 , 然後再求傳遞閉包的對稱閉包
• 上述兩個閉包運算的結果 , $ts(R)$ 關係 包含 $ts(R)$ 關係 ;