102422關係

1.關係

1.1關係

事物之間（客體之間）的相互聯絡，稱為關係

n元笛卡爾積A1×A2× …… ×An反映了 n 個客體之間的關係，所以是 n元關係。

序偶〈a，b〉實際上反映了二個元素之間的關係，從而是二元關係。

注意：關係和笛卡爾乘積

笛卡爾乘積的任何子集都可以定義一種二元關係。

設集合X={1, 2, 3, 4}，Y={1, 2}，則X ×Y = {<1,1 >，<1,2 >，< 2,1 >，< 2,2 >，< 3,1 >，< 3,2 >，< 4,1 >，< 4,2 >}

R1 = {<x , y>| x ∈X∧ y ∈Y ∧ x>y } = {<2 , 1>， <3 , 1>， <3 , 2>， <4 , 1>， <4 , 2>， <4 , 3>  }

R2 = {<x , y>| x ∈X∧ y ∈Y ∧ x=y2 } = {<1 , 1>， <4 , 2> }

R2 = {<x , y>| x ∈X∧ y ∈Y ∧ x=y } = {<1 , 1>， <2 , 2> } R1，R2，R3 均為二元關係。

 

1.2序偶

由二個具有給定次序的客體所組成的序列稱為序偶，記作〈x，y〉
說明：在序偶中二個元素要有確定的排列次序。
即：若 a ≠ b 時，則〈a，b〉 ≠ 〈b，a〉若〈x，y〉=〈a，b〉 則 （x = a ∧ y = b）
多重序偶：三重序偶〈x，y，z〉=〈〈x，y〉，z〉
　　　　　n重序偶〈x1，…，xn〉=〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉

 

重要關係

2.二元關係

2.1定義

設 A×B = {〈x，y〉|  (x ∈A) ∧ (y ∈B) }，若集合R ⊆A×B，則稱 R 是從 A 到 B的一個二元關係。

即二元關係 R 是以序偶作為元素的集合。若〈x，y〉∈ R，則記作  x R y，否則，記作

注：A×B 的任何子集都稱作從 A 到 B的二元關係，特別當 A = B 時，稱作 A上的關係。

 

2.2表示方法

2.2.1列舉法（列舉法）

二元關係定義如圖：

可寫成：R = {< 1, a > ，< 2,b > ， < 3, c > ， < 4, d >}
由定義可見：關係是一個集合，∴定義集合的方法都可以用來定義關係。

 

2.2.2謂詞公式表示法

前面講述，集合可用謂詞公式來表達，所以關係也可用謂詞公式來表達。
例如：實數集合R上的“>” 關係可表達為：“>” = {〈x，y〉| x ∈R ∧ y ∈R ∧ x>y }

 

2.2.3關係矩陣表示法

規定：
(a)對於二元關係的序偶 <x , y> ，其左元素表示行，右元素表示列；
(b)若 xi R yj ，則在對應位置上記“1”，否則記“0”。
例如：已知集合 A={1, 2, 3, 4}，並定義A上的關係R={⟨1,2⟩,⟨1,3⟩,⟨2,1⟩,⟨2,2⟩,⟨3,3⟩,⟨4,3⟩}
則R的關係矩陣為

例如：設 X={a，b，c}，Y={1，2}，R1是Ｘ→Ｙ的關係，
稱 R1是Ｘ→Ｙ的全域關係，

其關係矩陣為

 

 

2.2.4關係圖表示法

規定：
(a) 把Ｘ，Ｙ集合中的元素以點的形式全部畫在平面上；
(b)若 x_i R y_j ，則在 x_i 和 y_j 之間畫一條有向弧，反之，不畫任何曲線。

 

 

 

2.3關係的定義域和值域

設R是一個二元關係，令集合 D(R) ={ x | ∃ y (<x, y> ∈R) }；集合 R(R) ={ y | ∃ x (<x, y> ∈R) }；

則稱D(R)為R的定義域， R(R)為R的值域。

例如：設X={1, 2, 3, 4, 5, 6}，Y = {a, b, c, d, e, f}，
令R ={<1,a >< 2,b >< 3, c >< 4,d >}，
則R是X到Y的二元關係。
R的定義域：D(R) ={1, 2, 3, 4}，R的值域： R(R) ={a, b, c, d}。一般情況，稱X為R的前域，稱Y為R的陪域。

 

2.4特殊二元關係

定義：設 R 是A × A的子集，

①若R =A × A ，則稱R是 A上的全域關係，即R = A × A = { <x , y> | x ,y ∈A }.

  全域關係R1 = A×A 

自反的，對稱的，可傳遞的。

 

②若R= Ø，則稱R是A上的空關係.

  空關係R2 =Ø

反自反的，對稱的，反對稱的，可傳遞的。

 

③集合A上的恆等關係：I A = { <x , x> | x  ∈A }.

  恆等關係R3 = { < 1 , 1 >   < 2 , 2 >   < 3 , 3 >  } 

自反的，對稱的，反對稱的，可傳遞的

 

其它常用關係：

  

 

2.5關係的五種性質   

自反，反自反，對稱，反對稱，傳遞

1、自反性

設 R是集合X中的二元關係，若對於每一個 x ∈X ，都有 x R x ，則稱R具有自反性。

     注：X上R是自反的  ⇔  ∀x ( x ∈X → x R x ).

例如：設 X = {a , b , c}，R = {< a , a > < b , b > < c , c > < a , b >} 則R是自反的關係。

主對角線元素都為  1；  

圖中每個頂點都有環。

 

2、反自反性

設 R是集合X中的二元關係，若對於每一個 x ∈X ，都有 x R x ，則稱R具有反自反性。

     注：X上R是自反的  ⇔  ∀x ( x ∈X → x R x ).

例如：設 X = {1 , 2 , 3}，R1 = { < 1 , 2 >  < 2 , 1 > };R2 = { < 1 , 2 > } ；R3 = { < 2 , 1 > };

則R1， R2， R3都是反自反的。

 主對角線元素都為  0；

例如：設 X = {1 , 2 , 3}，R1 = { < 1 , 2 >  < 2 , 1 > };R2 = { < 1 , 2 > } ；R3 = { < 2 , 1 > };

則R1，R2，R3都是反自反的。

圖中每個頂點都無環。

例如：設 X = {1 , 2 , 3}，R4 = { < 1 , 1 >  < 2 , 1>   < 3 , 1>   < 3 , 2 > };

則 R4 既不是自反的，也不是反自反的。

 

3、對稱性

設 R是集合X中的二元關係，對於任意的 x ，y ∈X ，如果每當有 x R y ，都必有 y R x ，則稱R在X上具有對稱性。

例如：設 X = {1 , 2 , 3}，R = {< 1 , 1 > < 2 , 1 >  < 1 , 2 > < 3 , 2 >  < 2 , 3 > } 則R是對稱的關係。

對稱矩陣   若兩頂點間有邊，則必有一對方向相反的邊

 

4、反對稱性

設 R是集合X中的二元關係，對於任意的 x ，y ∈X ，如果每當有 x R y 和 y R x ，都必有 x = y，則稱R在X上具有反對稱性。

     注：X上R是反對稱的  ⇔  ∀x ∀y ( x ∈X ∧y ∈X ∧x R y ∧y R x → x = y ).

分析：① 若前件 x R y ∧y R x 為“T”，且後件 x = y 也為“T”，則 R是反對稱的；

②若前件 x R y ∧y R x 為“F”（有三種情況），後件不論是真還是假，命題均為“T”，則 R是反對稱的。

例1：設 X = {a , b , c}，R1 = { < a , b >  < b , c >  < c , a >  }，R2 = {< a , c > < a , a > < b , b > < c , c > } ，

R3 = {< a , a > < b , c > < c , a >  } ，則R1， R2， R3 均是反對稱的。

注：如果兩頂點間有邊，則必是一條有向邊

 

5、傳遞性

設 R是集合X中的二元關係，對於任意的 x ，y ，z ∈X ，如果每當有 x R y ∧ y R z ，就必有 x R z 。

則稱R在X上具有傳遞性

分析：① 若前件 x R y ∧y R z 為“T”，且後件 x R z 也為“T”，則 R是可傳遞的；

②若前件為“F”（有三種情況），後件不論是真還是假，命題均為“T”，則 R是可傳遞的。

例1：設 X = {a , b , c}，則下列關係均是可傳遞的。

         R1 = { < a , a >  < a , b >  < a , c >  < b , c > }

         R2 = {< a , b >}

         R3 = {< a , b >   < a , c >  }

         R4 = Ø

 

 

2.6關係的合成

 

2.6.1關係的複合

（1）定義：

     設 R是X→Y的二元關係，S是Y→Z的二元關係，於是可得X →Z的二元關係：
    　　{ <x , z> | x∈X∧z∈Z∧∃ y (y∈Y∧x R y∧y S z ) }   稱此集合為R與S的複合關係，記為R◦S 或 RS.

　　　R◦S  ≠  S◦R ，複合關係“◦”不滿足交換律.

 

 

 

（2）複合關係的矩陣表示

邏輯加法： 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

布林矩陣的布林乘法：把矩陣乘法中的“+”改為∨，“+”改為∧，其它不變。記為 MR◦MS 。

 

 

 

2.6.2 關係 R 的冪

《定義》給定集合X，R 是X上的二元關係， n為自然數，於是 R 的 n 次冪可定義為：
（1） R⁰ = X集合中的恆等關係，即R⁰ ={ <x , x> | x∈X } = I_X ；

（2） Rⁿ⁺¹ = Rⁿ ◦R

設 X = {1 , 2 , 3 }，X上的關係R = { <1,2> <2,3> <3,1> }

         求 R⁰，R²，R³，R⁴。

解： R⁰  = { <1,1> <2,2> <3,3> } = I_X                   R²  = { <1,3> <2,1> <3,2> }

         R³  = R² ◦ R = { <1,1> <2,2> <3,3> } = I_X     R⁴  = R³ ◦ R = R

《定理》設R為A上的二元關係，m，n為自然數，那麼

（1）R^mRⁿ  = R^m+n   

（2）(R^m)ⁿ  = R^mn .

設Ａ={a, b, c, d}, R={<a, b> <b, a> <b, c> <c, d>},求 R²，R³ ，R⁴，R⁵。

解：R²  = { <a, a>  < a, c >  < b, b > < b, d > }

         R³  = R² ◦ R = { <a, b> < a, d >  <b, a>   <b, c>}

         R⁴  = R³ ◦ R = {<a, a>   <a, c>   <b, b>   <b, d>} = R² .

 R5  = R4 ◦ R = R2 ◦ R = R3 .

 注：若|X|=n，則X中的二元關係R的冪次值是有限的。一般不用求出超過X的基數次冪。

 

2.6.3逆關係

定義：給定兩個集合X和Y，若R 是X→Y的關係，那麼從Y→X的關係稱為R的逆關係，記為或R^-1，即

⑴只要將R中每一個序偶中的元素全部調換位置，就可得到R的逆關係

(2)的關係矩陣為

⑶ 在R的關係圖中，只要把所有箭頭改換方向，就可得到的關係圖。（自迴路箭頭改變與否無關)

 

 定理：設R ，R₁，R₂是集合A，B上的二元關係，則

(1) ( R^-1)^-1=R；                    

(2) (R₁∪R₂)^-1=R₁^-1∪R₂^-1；
(3) (R₁∩R₂)^-1=R₁^-1∩R₂^-1  ；           

(4) (R₁-R₂)^-1=R₁^-1 -R₂^-1  ；

(5) (A×B)^-1=B×A;                   

(6) Ø ^-1= Ø；

(7) R₁ ⊆ R₂，則 R₁^-1 ⊆ R₂^-1；

 

定理：設R是X中的二元關係，那麼R是對稱的當且僅當 R  = 

 

2.6.4關係的閉包

《定義》給定集合X，R是X中的二元關係，若有另一關係 R¢滿足下列條件：

         ⑴ R′是自反的（對稱的、可傳遞的）；     

　　  ⑵ R′  ⊇ R ；

         ⑶ 對於任一自反（對稱、可傳遞）關係R″，若R″  ⊇  R ，則必有 R²  ⊇  R′；

         則稱R′是R的自反（對稱、可傳遞）閉包，並依次用r(R)，s(R)，t(R)來表示之。

 

討論定義：

⑴ 已知一個集合中的二元關係R，則 r(R)，s(R)，t(R) 是唯一的，它們是包含R的最小的自反（對稱、可傳遞）關係；

⑵ 若R是自反（對稱、可傳遞）的，則 r(R)，s(R)，t(R) 就是R本身；

⑶ 若R不是自反（對稱、可傳遞）的，則我們可以補上最少序偶，使之變為自反（對稱、可傳遞）關係，從而得到r(R)，s(R)，t(R) .

 

《定理》給定集合X，R是X上的二元關係，則

         ⑴  R是自反的當且僅當  r(R)=R；

         ⑵  R是對稱的當且僅當  s(R)=R；

         ⑶  R是可傳遞的當且僅當  t(R)=R。

 

《定理1》設R是X上的二元關係，I_x 是X上的恆等關係，則有 r(R) = R U I_x  .

《定理2》設R是X上的二元關係，則有 s(R) = R U R^-1

《定理3》設R是X上的二元關係，則有 t(R) = R U R² U R³  U ··· =

 

2.6.5次序關係

2.6.5.1偏序集合

定義：

設R是X上的二元關係，如果R是自反的，反對稱的和可傳遞的，則稱R是X中的偏序關係（或稱偏序），並用符號“≤”表示，而序偶〈X，≤〉則稱為偏序集合。

⑴ “≤”不單純意味著在實數中的 ≤ 關係，而是代表更為普遍的關係（具有自反，反對稱和可傳遞性的關係）；

⑵ 若 x, y∈ X ，“x ≤ y”讀作：“x小於或等於y”；

⑶ R是集合X中的偏序關係，則 R 也是X中的偏序關係，若R用“≤”表示，R 則用“≥”表示；

⑷ 若〈X，≤〉是一個偏序集合，則〈X，≥〉也一定是偏序集合，且偏序集合是一個序偶，左元素為集合X，右元素為偏序關係。

定義：在偏序集合〈X，≤〉中，若對任意的 x, y∈X，均有x ≤ y 或 y ≤ x，則稱x和y是可比較的，否則稱x和 y是不可比較的。

 

2.6.5.2特殊的

擬序集合

定義：R是集合X中的二元關係，若R是反自反的，反對稱的和可傳遞的，則稱R是X中的擬序關係（串序），並用符號“<”表示。而序偶〈X,<〉稱為擬序集合。

討論：（1）擬序關係一定反對稱的；（2）擬序關係也可用偏序關係來定義：

 

 

全序集合

定義：設〈X，≤〉是一個偏序集合，若對於每一個 x, y ∈ X ，或者 x ≤ y，或者 y ≤ x，即

∀x ∀y(x ∈X ∧ y ∈ X → x ≤ y∨y ≤ x) ，則稱偏序關係“≤” 為全序關係，而〈X，≤〉稱為全序集合（線序集合）。

在偏序集合中，一般情況下，一定是：有的元素是可以比較的，有的元素是不可比較的。而在全序關係中，所有的元素均是可比較的.

 

良序集合

  定義：若集合X上的二元關係R是全序關係，且X的任一非空子集，都有一個最小元素，則稱R為良序關係，並稱<X,R>為良序集合。

注：⑴ 良序關係比全序關係多了一個條件，即在全序關係中，X集合的任一非空子集均有一個最小元素；

⑵ 每一個有限集合X上的全序關係必定是良序關係。

 

 2.6.5.3偏序集合和哈斯圖

2.6.5.3.1定義

在偏序集合〈X，≤〉中，若有 x, y ∈ X，且x ≤ y 但 x ≠ y ，

且又不存在其它元素 z 能使x ≤ z ∧ z ≤ y，

則稱元素 y 蓋住 x，蓋住集記為 COV( X )={< x, y >| x, y ∈  X；y蓋住 x }.

給定偏序集合〈X，≤〉，它的蓋住集是唯一的。我們可以畫出蓋住集的關係圖，稱為偏序集合〈X，≤〉的哈斯圖。

 

2.6.5.3.2偏序集合〈X，≤〉的哈斯圖的畫法

⑴ 用“◦”表示 X 中的結點（表示自反性）；

⑵ 若 x, y∈ X ，且 x ≤ y 和 x ≠ y ，則把 x 畫在y 的下面；

⑶ 若 y 蓋住 x，則在 x 和y之間畫一條連線，並箭頭向上；若 y 不蓋住 x，但又存在“≤”關係，則必定能通過 x 和 y 之間的其它中間結點把 x 和 y 聯結起來；

⑷ 所有邊的方向均是向上的，所以實際畫時，箭頭均可省去。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6.5.3.3偏序集中的最小（大）元，極小（大）元

《定義》給定偏序集合<A , ≤ >，且子集 B ⊆ A，

(1) 若∃ b∈ B ，使得∀x（ x ∈B → x ≤ b）成立，則稱 b 為 B 的最大元，即 b 大於B中其它所有元。

(2) 若∃ b∈ B ，使得∀x（ x ∈B → b ≤ x）成立，則稱 b 為 B 的最小元，即 b 小於B中其它所有元。

《定義》給定偏序集合< A , ≤ >，且子集 B ⊆ A，

(1) 若∃ b ∈ B ，使得¬ ∃x（ x ∈B ∧ x ≤ b）成立，則稱 b 為 B 的極小元。即B中沒有比 b 還小的元。

(2) 若∃ b ∈ B ，使得¬ ∃x（ x ∈B ∧ b ≤ x）成立，則稱 b 為 B 的極大元。即B中沒有比 b 還大的元。

 

注：由定義可知：

⑴ 集合B的最大（小）元、極大（小）元，若有的話，必在 B 中；

⑵ 最大（小）元是對B中所有元素與其作比較而言的；而極大（小）元是對 B 中能夠與其作比較的元素而言的。

⑶ 最大（小）元不一定存在，若存在必唯一；而極大（小）元一定存在，且不一定唯一。

 

2.6.5.3.4偏序集中的上（下）界，上（下）確界

 定義

給定偏序集合< A , ≤ >，且子集 B ⊆ A，

(1) 若 ∃ a ∈ A ，使得∀x（ x ∈B  → x ≤ a）成立，則稱 a 為 B 的上界，其中最小的一個上界，

稱為 B 的上確界，記為LUB。

(2) 若 ∃ a ∈ A ，使得∀x（ x ∈B  → a ≤ x）成立，則稱 a 為 B 的下界，其中最大的一個下界，

稱為 B 的下確界，記為GLB。

 

注：由定義可知：

(1) 上（下）界是與 B 中所有元素作比較而言的。

(2) B 的上（下）界不一定存在，若存在，也不一定是唯一的。

(3) B 的LUB（GLB）不一定存在，若存在必唯一。

(4) 若B 的上（下）界、LUB（GLB）存在，則其可能在B 中，也可能不在 B 中，但一定在 A中。

 

《定理》設偏序集合 < A , ≤ >，B是A的子集，則：

         (1) 如果b是B的最大元，那麼b也是B的極大元.

         (2) 如果b是B的最大元，那麼b就是B的 lub.

         (3) 如果b是B的一個上界且 b  B，那麼b就是B的最大元.

 

2.6.5等價關係

2.6.5.1定義

　　設R是X上的二元關係，如果R是自反的、對稱的和可傳遞的，則稱R是X上的等價關係。

分析：等價關係R的有向圖滿足：自反的，對稱的，傳遞的。

 

2.6.5.2等價類

　　定義：設R是X上的等價關係，對於∀ x ∈ X ，定義 X 的子集[x]_R = { y | y ∈ X∧ x R y }

稱子集 [x]_R是由 x 生成的關於R的等價類，簡記為 [x]，並稱 x 為等價類 [x] 的表示元素。

　

注：⑴ 等價類 [x]_R 是一個集合，且 [x]_R ⊆ X .

　　⑵ [x]_R中的元素是：所有與 x 具有等價關係 R 的元素所組成的集合，且 [x]_R ≠ Ø.

 

 

2.6.5.3劃分

定義：設X是一非空集合，A₁, A₂ , … , A_m 是它的非空子集，且滿足

         ⑴  A_i ∩ A_j = Ø（i ≠ j）；

　　  ⑵  A₁ U A₂ U … U A_m = X；

         則稱集合族π ={ A₁, A₂ , … , A_m } 為集合X的一個劃分。而子集A1, A2 , … , Am 稱為這個劃分的塊。

 

定理：設X是一非空集合，R是X中的等價關係，則 R 的等價類集合{ [x]_R | x∈ X }就是X的一個劃分，

　　    且稱此集合為X在R下的商集，記為，即X/R = { [x]_R | x∈ X } .