數論入門基礎（同餘定理/費馬小定理/擴充套件歐幾里德演算法/中國剩餘定理）
本文整理了同餘定理/費馬小定理/擴充套件歐幾里德演算法/中國剩餘定理基本的念描述、結論證明和模板應用
同餘定理
1.描述：
同餘定理是數論中的重要概念。給定一個正整數m，如果兩個整數a和b滿足（a-b）能夠被m整除，即（a-b）/m得到一個整數，那麼就稱整數a與b對模m同餘，記作a≡b(mod m)。
2.符號：
兩個整數a、b，若它們除以整數m所得的餘數相等，則稱a與b對模m同餘或a同餘於b模m。記作a≡b(mod m)
3.定義：
設m是大於1的正整數，a、b是整數，如果兩個整數同時除以一個整數得到的餘數相同，即m|(a-b)，則稱a與b關於模m同餘，記作a≡b(mod m)。顯然有如下事實：
- 若a≡0(mod m)，則m|a;
- a≡b(mod m)等價於a與b分別用m去除，餘數相同。
4.證明 :
(1) 充分性：
若a和b用m相除留下相同的餘數r，則 a=q1m+r, b=q2m+r,q1和q2為某兩個整數，由此的a-b=(q1m+r)-(q2m+r)=m(q1-q2)，根據整除定義，我們有m|(a-b)，由同餘式定義得出結論：a≡b(mod m)。
(2) 必要性：
若a和b用m相除留下相同的餘數r，則 a=q1m+r,b=q2m+r,所以a-b=m(q1-q2) 故 m|(a-b)。
5.性質：
-
反身性：a≡a (mod m)
-
對稱性： 若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)
-
傳遞性： 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡c(mod m)
-
同餘式相加：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a + c≡b + d(mod m)
-
同餘式相乘：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則ac≡bd(mod m)
-
線性運算：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那麼a ± c≡b ± d(mod m)，且
a * c≡b * d(mod m) -
除法：若ac ≡ bc (mod m) c≠0 則 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公約數。特殊地 ,gcd(c,m)=1 則a ≡ b (mod m)
-
冪運算：如果a ≡ b (mod m)，那麼a^n ≡ b^n (mod m)
-
若a ≡ b (mod m)，n|m,則 a ≡ b (mod n)
若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 則 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍數
6.應用：
(1)高精度對單精度取模
一個高精度數對一個數取餘，可以把高精度數看成各位數的權值與個位數乘積的和。如1234 = ((1 * 10 + 2) * 10 + 3) * 10 + 4，對這個數進行取餘運算就是上面基本加和乘的應用。
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main(){
string a;
int b;
cin >> a >> b;
int len = a.length();
int ans = 0;
for(int i = 0; i < len; i++){
ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % b;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
(2)快速冪取模
將冪拆解為多個底數的平方次的積，如果指數為偶數，把指數除以2，並讓底數的平方次取餘，如果指數為奇數，就把多出來的底數記錄下來，再執行偶數次的操作。
#include<iostream>
using namespace std;
int PowerMod(int a, int b, int c){
int ans = 1;
a = a % c;//防止a比c的情況
while(b > 0){
if(b&1){
ans *= (a % c);//如果b的二進位制位不是0，那麼我們的結果是要參與運算的
}
b >>= 1; //二進位制的移位操作，相當於每次除以2，用二進位制看，就是我們不斷的遍歷b的二進位制位
a = (a * a) % c; //不斷的加倍
}
ans %= c;
return ans;
}
int main()
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
cout << PowerMod(a, b, c) << endl;
return 0;
}
二.費馬小定理
1.費馬小定理：
假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麼 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1。
2.同餘證法：
任意取一個質數，比如13。考慮從1到12的一系列整數1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，給這些數都乘上一個與13互質的數，比如3，得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。對於模13來說，這些數同餘於3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。這些餘數實際上就是原來的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是順序不同而已。
把1,2,3,…,12統統乘起來，乘積就是12的階乘12！。把3,6,9,…,36也統統乘起來，並且提出公因子3，乘積就是312×12！。對於模13來說，這兩個乘積都同餘於1,2,3,…,12系列，儘管順序不是一一對應，即312×12！≡12！mod 13。兩邊同時除以12！得312≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到費馬小定理xp－1≡1 mod p。
以zoj3785為例：
It's Saturday today, what day is it after 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + N^N days? (1 <= N <= 1000000000).
對於
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 7^7
8^8 9^9 10^10 11^11 12^12 13^13 14^14
15^15 16^16 17^17 18^18 19^19 20^20 21^21
22^22 23^23 24^24 25^25 26^26 27^27 28^28
29^29 30^30 31^31 32^32 33^33 34^34 35^35
36^36 37^37 38^38 39^39 40^40 41^41 42^42
43^43 44^44 45^45 46^46 47^47 48^48 49^49
都對7取模後
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 0^7
1^8 2^9 3^10 4^11 5^12 6^13 0^14
1^15 2^16 3^17 4^18 5^19 6^20 0^21
1^22 2^23 3^24 4^25 5^26 6^27 0^28
1^29 2^30 3^31 4^32 5^33 6^34 0^35
1^36 2^37 3^38 4^39 5^40 6^41 0^42
1^43 2^44 3^45 4^46 5^47 6^48 0^49
根據費馬小定理x6≡1（mod 7）可得
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 0
1^2 2^3 3^4 4^5 5^6 6^1 0
1^3 2^4 3^5 4^6 5^1 6^2 0
1^4 2^5 3^6 4^1 5^2 6^3 0
1^5 2^6 3^1 4^2 5^3 6^4 0
1^6 2^1 3^2 4^3 5^4 6^5 0
1^1 2^2 3^3 4^4 5^5 6^6 0
每六行一個迴圈，迴圈節長度為42
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<stack>
using namespace std;
const int MAX = 1000+10;
const double eps = 1e-10;
const double PI = acos(-1.0);
long long n;
int t;
int s[50];
int main()
{
for(int i=1; i<=44; i++)
{
int flag=i%7;
int ans=1;
for(int j=1; j<=i; j++)
ans=(ans*flag)%7;
s[i]=ans;
}
for(int i=1; i<=44; i++)
s[i]+=s[i-1];
scanf("%d", &t);
long long ans;
while(t--)
{
scanf("%lld", &n);
ans=(n/42%7*(s[42]%7)%7+s[n%42]%7)%7;
ans = (ans+6)%7;
if(ans==1)printf("Monday\n");
else if(ans==2)printf("Tuesday\n");
else if(ans==3)printf("Wednesday\n");
else if(ans==4)printf("Thursday\n");
else if(ans==5)printf("Friday\n");
else if(ans==6)printf("Saturday\n");
else printf("Sunday\n");
}
return 0;
}
三.歐幾里德演算法 and 擴充套件歐幾里德演算法(gcd and exgcd)
(一) 歐幾里德演算法 (gcd)
1.描述：
歐幾里德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。
2.基本演算法：
設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
3.證明：
方法一：
a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證
方法二：
要證歐幾里德演算法成立，即證: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公約數的意思，r=a mod b
下面證 gcd（a，b）=gcd（b，r）
設c是a，b的最大公約數，即c=gcd（a，b），則有 a=mc，b=nc，其中m，n為正整數，且m，n互為質數
由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整數，
則 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互質（假設n，m-qn不互質，則n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整數，且d>1
則a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,這時a,b 的最大公約數變成dc，與前提矛盾，所以n ，m-qn一定互質）
則gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
得證。
4.演算法的實現：
(1)遞迴演算法，程式碼：
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
return
gcd(b,a%b);
}
(2)優化如下：
int gcd(int a,int b)
{
return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
(3)用迭代形式：
int gcd(int a, int b)
{
while(b != 0)
{
int r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}
1.基本演算法：
對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
2.證明：
設 a>b。
(1) 當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
(2) ab!=0 時
設 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.
上面的思想是以遞迴定義的，因為 gcd 不斷的遞迴求解一定會有個時候 b=0，所以遞迴可以結束。
3.演算法的實現：
(1)遞迴程式碼：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
(2)非遞迴程式碼：
int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
int x1,y1,x0,y0;
x0=1; y0=0;
x1=0; y1=1;
x=0; y=1;
int r=m%n;
int q=(m-r)/n;
while(r)
{
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
x0=x1; y0=y1;
x1=x; y1=y;
m=n; n=r; r=m%n;
q=(m-r)/n;
}
return n;
}
4.應用:
（1) 解決不定方程：
對於不定整數方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,則該方程存在整數解，否則不存在整數解。
上面已經列出找一個整數解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一組解p0,q0後，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整數解滿足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t為任意整數)
至於pa+qb=c的整數解，只需將p * a+q * b = Gcd(p, q)的每個解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一組解p0,q0後，應該是得到p * a+q * b = c的一組解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整數解滿足：
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t為任意整數)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整數解。
相關證明可參考：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html
如，解不定方程ax+by=c程式碼：
bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
int d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d)
return false;
int k=c/d;
x*=k; y*=k; //求得的只是其中一組解
return true;
}
(2)求解模線性方程：
同餘方程 ax≡b (mod n)對於未知數 x 有解，當且僅當 gcd(a,n) | b。且方程有解時，方程有 gcd(a,n) 個解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相當於求解方程 ax+ ny= b, (x, y為整數)
設 d= gcd(a,n)，假如整數 x 和 y，滿足 d= ax+ ny(用擴充套件歐幾里德得出)。如果 d| b，則方程
a* x0+ n* y0= d， 方程兩邊乘以 b/ d，(因為 d|b，所以能夠整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 為 ax+ ny= b 的一個解，所以 x= x0* b/ d 為 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一個解為 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 個解分別為 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
設ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整數解為：(ans%s+s)%s;
相關證明：
證明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由於 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
證明方程有d個解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由於 d | a)
= b
首先看一個簡單的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以發現一個規律，就是解的間隔是3.
那麼這個解的間隔是怎麼決定的呢？
如果可以設法找到第一個解，並且求出解之間的間隔，那麼就可以求出模的線性方程的解集了.
我們設解之間的間隔為dx.
那麼有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
兩式相減，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是說a*dx就是a的倍數，同時也是n的倍數，即a*dx是a 和 n的公倍數.為了求出dx,我們應該求出a 和 n的最小公倍數,此時對應的dx是最小的.
設a 和 n的最大公約數為d,那麼a 和 n 的最小公倍數為(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之間的間隔就求出來了.
程式碼如下：
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
int x,y,x0,i;
int d=exgcd(a,n,x,y);
if(b%d)
return false;
x0=x*(b/d)%n; //特解
for(i=1;i<d;i++)
printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
return true;
}
(3)求模的逆元:
同餘方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，則方程只有唯一解。
在這種情況下，如果 b== 1，同餘方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
這時稱求出的 x 為 a 的對模 n 乘法的逆元。
對於同餘方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 為整數。這個可用擴充套件歐幾里德演算法求出，原同餘方程的唯一解就是用擴充套件歐幾里德演算法得出的 x 。
四.中國剩餘定理 ( 孫子定理 / CRT )
1.描述：
設正整數
兩兩互素，則同餘方程組
有整數解。並且在模
下的解是唯一的，解為
其中
，而
為
模
的逆元。
2.程式碼實現：
(1)互質：
//求M%A=a,M%B=b,...中的M，其中A,B,C...互質
int CRT(int a[],int m[],int n){
int M = 1;
int ans = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
M *= m[i];
for(int i=1; i<=n; i++){
int x, y;
int Mi = M / m[i];
ex_gcd(Mi, m[i], x, y);
ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
}
if(ans < 0)
ans += M;
return ans;
}
(2)非互質：
一般的中國剩餘定理要求mi兩兩互質，但是保證互質條件太苛刻了，若mi並不滿足兩兩互質時，就要採用兩兩合併的思想，假設要合併如下兩個方程
x=a1+m1*x1
x=a2+m2*x2
得到
a1+m1*x1 = a2+m2*x2 → m1*x1+m2*x2 = a2-a1
再通過擴充套件歐幾里得演算法解出x1的最小正整數解，代入
x=a1+m1*x1
得到x後合併為一個方程的結果為
y ≡ x(mod lcm(m1,m2))
這樣一直合併下去，最終可以求得同餘方程組的解。
程式碼：
bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3) {
LL d = gcd(m1, m2);
LL c = a2 - a1;
if(c % d) return false;
c = (c % m2 + m2) % m2;
m1 /= d;
m2 /= d;
c /= d;
c *= Inv(m1, m2);//Inv為乘法逆元，數論常用內容——歐幾里得演算法與擴充套件歐幾里得演算法
c %= m2;
c *= m1 * d;
c += a1;
m3 = m1 * m2 * d;
a3 = (c % m3 + m3) % m3;
return true;
}
LL CRT(LL a[], LL m[], int n) {
LL a1 = a[1];
LL m1 = m[1];
for(int i=2; i<=n; i++) {
LL a2 = a[i];
LL m2 = m[i];
LL m3, a3;
if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))
return -1;
a1 = a3;
m1 = m3;
}
return (a1 % m1 + m1) % m1;
}
3.例題：
(1) POJ 1006
題意：
人自出生起就有體力，情感和智力三個生理週期，分別為23，28和33天。一個週期內有一天為峰值，在這一天，人在對應的方面（體力，情感或智力）表現最好。通常這三個週期的峰值不會是同一天。現在給出三個日期，分別對應於體力，情感，智力出現峰值的日期。然後再給出一個起始日期，要求從這一天開始，算出最少再過多少天后三個峰值同時出現。
程式碼：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int a[4], m[4];
void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
extend_Euclid(b, a % b, x, y);
int tmp = x;
x = y;
y = tmp - (a / b) * y;
}
int CRT(int a[],int m[],int n)
{
int M = 1;
int ans = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
M *= m[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int x, y;
int Mi = M / m[i];
extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
}
if(ans < 0) ans += M;
return ans;
}
int main()
{
int p, e, i, d, t = 1;
while(cin>>p>>e>>i>>d)
{
if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
break;
a[1] = p;
a[2] = e;
a[3] = i;
m[1] = 23;
m[2] = 28;
m[3] = 33;
int ans = CRT(a, m, 3);
if(ans <= d)
ans += 21252;
cout<<"Case "<<t++<<": the next triple peak occurs in "<<ans - d<<" days."<<endl;
}
return 0;
}
參考資料：
https://blog.csdn.net/zcy_2016/article/details/55054146
https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8050018
https://blog.csdn.net/tick_tock97/article/details/71313058
https://blog.csdn.net/qq_36345036/article/details/77407069
https://blog.csdn.net/QQ1353217816/article/details/79706975
http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
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