費馬小定理： 假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麼 a^(p-1)≡1（mod p） 兩邊都mod p；
即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1。

延伸：1. n*a^(p-1) ≡ n (mod p)
　　    2. a^(p-2) ≡ a^(-1)（mod p）

 正序逆序要靈活運用！

 

例題：

C~K的難題：費馬小定理+快速冪

Problem Description

眾所周知 C~K 喜歡數學，但是他最近被一個題給難住了，題目是這樣的。
要求 (A/B)%10007，但由於 A 很大，我們只給出 n (n = A%10007)（我們給定的A必能被B整除，且 gcd(B,10007) = 1）。
你能幫助他解答嗎？他會很感謝你的。

Input

資料的第一行是一個 T，表示有 T 組資料。
每組資料有兩個數 n (0 <= n < 10007) 和 B (1 <= B <= 10^9)。

Output

對應每組資料輸出 (A/B)%10007。

Sample Input

2
1000 53
87 123456789

Sample Output

8893
7424

 

/*
 
(A/B)%mod => A%mod/B => n/B => n*B^(-1) => 延伸2 => n*(B^(mod-2))%mod
 
*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
 
int qmi(ll a, ll b, ll mod) {   //快速冪
    ll flag = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)flag = (flag*a) % mod;
        a = (a*a) % mod;
        b = b >> 1;
    }
    return flag%mod;
}
 
int main() {
    int t, n, b,mod=10007;
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n >> b;
 
        cout << n*qmi(b, mod-2, mod) % mod << "\n";
    }
    return 0;
}

 

Find Integer
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Problem Description

people in USSS love math very much, and there is a famous math problem .

give you two integers n,a,you are required to find 2 integers b,c such that a^n+b^n=c^n.

Input

one line contains one integer T;(1≤T≤1000000)

next T lines contains two integers n,a;(0≤n≤1000,000,000,3≤a≤40000)

 Output

print two integers b,c if b,c exits;(1≤b,c≤1000,000,000);

else print two integers -1 -1 instead.

 Sample Input

1 2 3

Sample Output

4 5

費馬大定理（基礎知識）：
 費馬大定理，又被稱為“費馬最後的定理”，由17世紀法國數學家皮耶·德·費瑪提出。

它斷言當整數n >2時，關於x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。

歷經三百多年的歷史，最終該定理在1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯徹底證明。

另附費馬大定理的簡單證明過程（來自百度）有興趣的可以看一下哦

勾股數的兩種計算方法：
1）當a為大於1的奇數2n+1時，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1；當a為大於4的偶數2n時，b=n^2-1, c=n^2+1。

2）

題目解釋：
給出a和n，請找到符合a^n+b^n=c^n的b和c，如果存在請輸出一組，否則輸出-1 -1

解題思路：

對n分n>2, 2，1，0，四種情況討論

n=2時應用勾股數的計算方法

ac程式碼：
 

#include <iostream>
#define ll long long int
using namespace std;
int main()
{
    ll t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        ll n,a;
        scanf("%lld%lld",&n,&a);
        if(n==2)
        {
            ll m=a/2;
            if(a%2==1 && a>1)
            {
 
                 printf("%lld %lld\n",2*m*m+2*m,2*m*m+2*m+1);
            }
            else if(a%2==0 && a>4)
            {
                printf("%lld %lld\n",m*m-1,m*m+1);
            }
            if(a<3)
                printf("-1 -1\n");
            continue;
 
        }
        if(n>2||n==0)
        {
            printf("-1 -1\n");
            continue;
        }
        if(n==1)
        {
            printf("%lld %lld\n",a+1,a+a+1);
            continue;
        }
 
    }
    return 0;
}
//當a為大於1的奇數2n+1時，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。
//當a為大於4的偶數2n時，b=n^2-1, c=n^2+1

 

 

 

快速冪

顧名思義，快速冪就是快速算底數的n次冪。其時間複雜度為 O(log₂N)， 與樸素的O(N)相比效率有了極大的提高。

 

原理

編輯

以下以求a的b次方來介紹 [1] 

把b轉換成二進位制數。

該二進位制數第i位的權為

 

例如

11的二進位制是1011

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

因此，我們將a¹¹轉化為算

 

 

快速冪可以用位運算來實現

b and 1{也就是取b的二進位制最低位(即第0位)　判斷b是否為奇數，是則為1} 

b shr 1{就是去掉b的二進位制最低位(即第0位)} 

C++實現為

b & 1//取b二進位制的最低位，判斷和1是否相同，相同返回1，否則返回0，可用於判斷奇偶 

b>>1//把b的二進位制右移一位，即去掉其二進位制位的最低位

 

O(logn):

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int pow_mod(int a, int n, int m)
{
    if(n == 0) return 1;
    int x = pow_mod(a, n/2, m);
    long long ans = (long long)x * x % m;
    if(n % 2 == 1) ans = ans *a % m;
    return (int)ans;
}
int main()
{
    int a, n, m;
    cin >> a >> n >> m;
    cout << pow_mod(a, n, m);
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int pow_mod(int a, int n, int m)
{
    long long ans = 1;
    while(n){
        if(n&1){
            ans = (ans * a) % m;
        }
        a = (a * a) % m;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int a, n, m;
    cin >> a >> n >> m;
    cout << pow_mod(a, n, m);
}

矩陣快速冪（原理+模板）

https://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52058209