大家好，我是Weekoder！
今天的內容是快速冪！（實際上是為了講矩陣快速冪趕出來的嘻嘻
快速冪，顧名思義就是快速地計算出某個數的冪，形如 \(a^n\)。
為什麼普通的冪運算慢？假設要計算 \(a^n\)，則需要拆分成 \(a\times a\times\cdots\times a\times a\)，運算 \(n\) 次，複雜度為 \(O(n)\)。當 \(n\) 很大時，這個演算法明顯就不行了。那要怎麼最佳化呢？我們先來看一個簡單一點的例子：當 \(n\) 為 \(2\) 的冪時，可以怎麼做呢？假設 \(n\) 為 \(32\)，可以這樣計算：
注意：\(a^x\times a^y=a^{x+y}\)。
可以發現，這樣只計算了 \(5\) 次，相比於樸素演算法的 \(32\) 次，將時間複雜度最佳化到了 \(O(\log n)\)。這其實是倍增的原理，相比於一個一個乘 \(a\)，不如將 \(a\) 的數量翻倍乘。
那如果 \(n\) 不是 \(2\) 的冪呢？比如，\(n=105\) 的時候，該怎麼辦呢？雖然 \(105\) 不是 \(2\) 的冪，但是我們發現 \(105\) 可以拆分成 \(2\) 的冪之和，像這樣：
於是，我們可以把 \(a^{105}\) 拆分一下：
我們在剛剛提到過，計算 \(n\) 是 \(2\) 的冪的情況是很容易的，所以我們只需要將它們相乘即可。
這個問題的關鍵在於，怎樣將一個數拆分成 \(2\) 的冪之和？我們來看一下他們在二進位制下的樣子：
可以看到，\(105\) 的二進位制中有 \(4\) 個 \(1\)，而 \(2\) 的冪的數都只有一個 \(1\)，並且剛好和 \(105\) 的四個 \(1\) 位置一樣。所以，只要將 \(105\) 二進位制中的 \(1\) 拆開，就能得到 \(2\) 的冪的數字是哪些了。
而因為一個數 \(n\) 的二進位制最多隻有 \(\log n\) 位，所以時間複雜度為 \(O(\log n)\)。
就決定是你了！快速冪模板！
先上程式碼：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll expow(ll a, ll n, ll p) {
ll r = 1;
while (n) {
if (n & 1) r = r * a % p;
a = a * a % p, n >>= 1;
}
return r;
}
int main() {
ll a, b, p;
cin >> a >> b >> p;
cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=" << expow(a, b, p);
return 0;
}
輸入和輸出就不用我講了，重點是 \(\text{expow}\) 函式。我把快速冪函式提取出來（先不取模）：
typedef long long ll;
ll expow(ll a, ll n) {
ll r = 1;
while (n) {
if (n & 1) r *= a;
a *= a, n >>= 1;
}
return r;
}
比如計算 \(7^{105}\)。
首先，我們用一個 \(\color{yellow}\texttt{r}\color{#000000}\texttt{esult}\) 來儲存結果，初始時為 \(1\)。接著，有一個 \(\text{while}\) 迴圈，其實就是遍歷 \(n\) 在二進位制下的每一位。如果當前這一位是 \(1\)，即 \(n\) 對 \(1\) 按位與的結果為 \(1\)，則可以拆分，將 \(r\) 乘上 \(a\)。每過一位，\(a\) 就變為 \(a^2\)，即模擬倍增的過程。然後還要將 \(n\) 除以 \(2\)，用位運算表示就是右移一位，獲取下一位。最後返回結果 \(r\)。可以輔助圖片理解。
這樣就可以用 \(O(\log n)\) 的速度計算 \(a^n\) 了。
小擴充套件：冪取模
即計算 \(a^n \bmod p\)。
只需要在快速冪的模板裡稍微改動一下。在做乘法運算時，順帶取模就行了。
冪取模模板程式碼如下：
typedef long long ll;
ll expow(ll a, ll n, ll p) {
ll r = 1;
while (n) {
if (n & 1) r = r * a % p;
a = a * a % p, n >>= 1;
}
return r;
}
綜上所述，二進位制快速冪的核心就是這些了。當然，快速冪除了計算 \(a^n\) 以外，還有很多用處等著你去發現。