【資料結構與演算法】快速冪

gonghr發表於2022-01-18
資料結構演算法

快速冪

引入

快速冪是用來解決求冪運算的高效方式。

例如我們要求 x 的 90 次方，一般的方法可以通過一個迴圈，每次乘一個 x，迴圈 90 次之後就可以得到答案，時間複雜度為 O(n)，效率較低。而通過快速冪，我們可以在 O(log(n)) 的時間複雜度內完成該運算。

具體方法

我們可以通過二進位制的視角來看待冪運算。

要計算的是 $ \mathrm{x}^{\mathrm{n}} $，把 n 以二進位制的形式展開。

\[\mathrm{n}=\,\,\left( ...\mathrm{b}_3\mathrm{b}_2\mathrm{b}_1\mathrm{b}_0 \right) _2\,\,\left( \mathrm{b}_{\mathrm{i}}\text{為}0\text{或}1 \right) \]

\[\mathrm{n}=\mathrm{b}_02^0+\mathrm{b}_12^1+\mathrm{b}_22^2+\mathrm{b}_32^3...=1\times \mathrm{b}_0+2\times \mathrm{b}_1+4\times \mathrm{b}_2+8\times \mathrm{b}_3+... \]

\[\mathrm{x}^{\mathrm{n}}=\mathrm{x}^{\mathrm{b}_02^0+\mathrm{b}_12^1+\mathrm{b}_22^2+\mathrm{b}_32^3...}=\mathrm{x}^{\mathrm{b}_02^0}\times \mathrm{x}^{\mathrm{b}_12^1}\times \mathrm{x}^{\mathrm{b}_22^2}\times \mathrm{x}^{\mathrm{b}_32^3}\times ... \]

\[\mathrm{b}_{\mathrm{i}}\text{為}0\text{或}1\text{，故}\left\{ \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{b}_{\mathrm{i}}}=1\left( \mathrm{b}_{\mathrm{i}}=0 \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{b}_{\mathrm{i}}}=\mathrm{x}\left( \mathrm{b}_{\mathrm{i}}=1 \right)} \right. \]

所以，只需要使用一個迴圈求 n 的二進位制的每一位，每次一迴圈中，如果該二進位制位為 0，則不需要乘；如果該二進位制位為 1，則需要乘 x。且每一次迴圈中都執行 x *= x，可以一次獲取 x 的不同冪次。

程式碼實現

public static double getPower(double x, int n) {
      if(x == 0) return 0;
      if(n < 0) {     // x^(-a) = (1/x)^a
          x = 1/x;
          n = -n;
      }
      double res = 1.0;
      while(n > 0) {
          if((n & 1) == 1) {
              res *= x;
          }
          x *= x;
          n >>= 1;
      }
      return res;
}

題目

Pow(x, n)

50. Pow(x, n)

實現 pow(x, n) ，即計算 x 的 n 次冪函式（即，xn ）。

 

示例 1：

輸入：x = 2.00000, n = 10
輸出：1024.00000
示例 2：

輸入：x = 2.10000, n = 3
輸出：9.26100
示例 3：

輸入：x = 2.00000, n = -2
輸出：0.25000
解釋：2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
 

提示：

-100.0 < x < 100.0
-231 <= n <= 231-1
-104 <= xn <= 104


class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        long exp = n;              // 特殊處理：補碼錶示的負數最小值的相反數超過 Integer 表示範圍，故提高資料表示範圍
        if(x == 0.0) return 0.0; 
        if(n < 0) {
            x = 1/x;
            exp = -exp;
        }
        double res = 1.0;
        while(exp > 0) {
            if((exp & 1) == 1) res *= x;
            x *= x;
            exp >>= 1;
        }
        return res;
    }
}

矩陣快速冪

斐波那契數列

LeetCode 劍指 Offer 10- I. 斐波那契數列

寫一個函式，輸入 n ，求斐波那契（Fibonacci）數列的第 n 項（即 F(N)）。斐波那契數列的定義如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契數列由 0 和 1 開始，之後的斐波那契數就是由之前的兩數相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如計算初始結果為：1000000008，請返回 1。

 

示例 1：

輸入：n = 2
輸出：1
示例 2：

輸入：n = 5
輸出：5
 

提示：

0 <= n <= 100

解：找到一種遞推關係，滿足矩陣乘法。

f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)，將其依賴的狀態存成列向量

\[\left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-1 \right)\\ \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-2 \right)\\ \end{array} \right] \]

目標值 f(n) 所在矩陣為：

\[\left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( \mathrm{n} \right)\\ \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-1 \right)\\ \end{array} \right] \]

下面關鍵就是找到這兩個矩陣直接滿足的一個關係，知道係數矩陣 mat

\[\left\{ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( \mathrm{n} \right) =1\times \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-1 \right) +1\times \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-2 \right)\\ \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-1 \right) =1\times \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-1 \right) +0\times \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-2 \right)\\ \end{array} \right. \]

\[\left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( \mathrm{n} \right)\\ \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-1 \right)\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-1 \right)\\ \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-2 \right)\\ \end{array} \right] \]

則令

\[\mathrm{mat}=\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right] \]

我們就成功找到了係數矩陣。

下面可以求得遞推關係式：

\[\left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( \mathrm{n} \right)\\ \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-1 \right)\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-1 \right)\\ \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-2 \right)\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right] ^2\left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-2 \right)\\ \mathrm{f}\left( \mathrm{n}-3 \right)\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1& 0\\ \end{matrix} \right] ^{\mathrm{n}-1}\left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( 1 \right)\\ \mathrm{f}\left( 0 \right)\\ \end{array} \right] =\mathrm{mat}^{\mathrm{n}-1}\times \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right] \]

對於 mat 可以通過快速冪求得結果。

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int fib(int n) {
        if(n <= 1) return n;
        long[][] mat = new long[][]{
            {1, 1},
            {1, 0}
        };
        long[][] ans = new long[][]{
            {1},
            {0}
        };
        int count =  n - 1;
        while(count > 0) {
            if((count & 1) == 1) ans = mul(mat, ans); // 注意矩陣乘法順序，不滿足交換律
            mat = mul(mat, mat);
            count >>= 1; 
        }
        return (int)(ans[0][0] % mod);
    }
    public long[][] mul(long[][] a, long[][] b) {
        // 矩陣乘法，新矩陣的行數 = a的行數rowa，列數 = b的列數colb
        // a矩陣的列數 = b矩陣的行數 = common
        int rowa = a.length, colb = b[0].length, common = b.length;
        long[][] ans = new long[rowa][colb];
        for (int i = 0; i < rowa; i++) {
            for (int j = 0; j < colb; j++) {
                for (int k = 0; k < common; k++) {
                    ans[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                    ans[i][j] %= mod;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}

第 N 個泰波那契數

LeetCode 1137. 第 N 個泰波那契數

泰波那契序列 Tn 定義如下： 

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的條件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

給你整數 n，請返回第 n 個泰波那契數 Tn 的值。

 

示例 1：

輸入：n = 4
輸出：4
解釋：
T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
T_4 = 1 + 1 + 2 = 4
示例 2：

輸入：n = 25
輸出：1389537
 

提示：

0 <= n <= 37
答案保證是一個 32 位整數，即 answer <= 2^31 - 1。

解：

f(i) 依賴於 f(i - 1)、f(i - 2)、f(i - 3)，故將其存為一個列向量

\[\left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( \mathrm{i}-1 \right)\\ \mathrm{f}\left( \mathrm{i}-2 \right)\\ \mathrm{f}\left( \mathrm{i}-3 \right)\\ \end{array} \right] \]

不難得知結果中 f(n) 滿足的列向量為

\[\left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( n \right)\\ \mathrm{f}\left( n-1 \right)\\ \mathrm{f}\left( n-2 \right)\\ \end{array} \right] \]

下面求係數矩陣，

\[\left\{ \begin{aligned} \mathrm{f}\left( n \right) &=1\cdot \mathrm{f}\left( n-1 \right) +1\cdot \mathrm{f}\left( n-2 \right) +1\cdot \mathrm{f}\left( n-3 \right)\\ \mathrm{f}\left( n-1 \right) &=1\cdot \mathrm{f}\left( n-1 \right) +0\cdot \mathrm{f}\left( n-2 \right) +0\cdot \mathrm{f}\left( n-3 \right)\\ \mathrm{f}\left( n-2 \right) &=0\cdot \mathrm{f}\left( n-1 \right) +1\cdot \mathrm{f}\left( n-2 \right) +0\cdot \mathrm{f}\left( n-3 \right)\\ \end{aligned} \right. \Longrightarrow \left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( n \right)\\ \mathrm{f}\left( n-1 \right)\\ \mathrm{f}\left( n-2 \right)\\ \end{array} \right] =\left( \begin{matrix} 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ \end{matrix} \right) \left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( n-1 \right)\\ \mathrm{f}\left( n-2 \right)\\ \mathrm{f}\left( n-3 \right)\\ \end{array} \right] \]

即

\[\mathrm{mat}=\left( \begin{matrix}{} 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ \end{matrix} \right) \]

變換等式得到

\[\left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( n \right)\\ \mathrm{f}\left( n-1 \right)\\ \mathrm{f}\left( n-2 \right)\\ \end{array} \right] =\left( \begin{matrix} 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ \end{matrix} \right) \left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( n-1 \right)\\ \mathrm{f}\left( n-2 \right)\\ \mathrm{f}\left( n-3 \right)\\ \end{array} \right] =\left( \begin{matrix} 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ \end{matrix} \right) ^{n-2}\left[ \begin{array}{c} \mathrm{f}\left( 2 \right)\\ \mathrm{f}\left( 1 \right)\\ \mathrm{f}\left( 0 \right)\\ \end{array} \right] =\mathrm{mat}^{\mathrm{i}-2}\left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right] \]

對於 mat 的冪運算可以使用快速冪

class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n == 2) return 1;
        int[][] mat = new int[][]{
            {1, 1, 1},
            {1, 0, 0},
            {0, 1, 0}
        };
        int[][] ans = new int[][]{
            {1},
            {1},
            {0}
        };
        int count = n - 2;
        while(count > 0) {
            if((count & 1) == 1) ans = mul(mat, ans);
            mat = mul(mat, mat);
            count >>= 1;
        }
        return ans[0][0];
    }
    public int[][] mul(int[][] a, int[][] b) {
        int rowa = a.length;
        int colb = b[0].length;
        int common = b.length;
        int[][] ans = new int[rowa][colb];
        for(int i = 0; i < rowa; i++) {
            for(int j = 0; j < colb; j++) {
                for(int k = 0; k < common; k++) {
                    ans[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}

統計母音字母序列的數目

LeetCode 1220.統計母音字母序列的數目

給你一個整數 n，請你幫忙統計一下我們可以按下述規則形成多少個長度為 n 的字串：

字串中的每個字元都應當是小寫母音字母（'a', 'e', 'i', 'o', 'u'）
每個母音 'a' 後面都只能跟著 'e'
每個母音 'e' 後面只能跟著 'a' 或者是 'i'
每個母音 'i' 後面 不能 再跟著另一個 'i'
每個母音 'o' 後面只能跟著 'i' 或者是 'u'
每個母音 'u' 後面只能跟著 'a'
由於答案可能會很大，所以請你返回 模 10^9 + 7 之後的結果。

 

示例 1：

輸入：n = 1
輸出：5
解釋：所有可能的字串分別是："a", "e", "i" , "o" 和 "u"。
示例 2：

輸入：n = 2
輸出：10
解釋：所有可能的字串分別是："ae", "ea", "ei", "ia", "ie", "io", "iu", "oi", "ou" 和 "ua"。
示例 3：

輸入：n = 5
輸出：68
 

提示：

1 <= n <= 2 * 10^4

解：題目中給定的字元的下一個字元的規則如下：

字串中的每個字元都應當是小寫母音字母 （‘a’,‘e’,‘i’,‘o’,‘u’）；

  • 每個母音 ‘a’ 後面都只能跟著 ‘e’；
  • 每個母音 ‘e’ 後面只能跟著 ‘a’ 或者是 ‘a’；
  • 每個母音 ‘i’ 後面不能再跟著另一個 ‘i’；
  • 每個母音 ‘o’ 後面只能跟著 ‘i’ 或者是 ‘u’；
  • 每個母音 ‘u’ 後面只能跟著 ‘a’；

以上等價於每個字元的前一個字元的規則如下：

  • 母音字母 ‘a’ 前面只能跟著 ‘e’,‘i’,‘u’；
  • 母音字母 ‘e’ 前面只能跟著 ‘a’,‘i’；
  • 每個母音 ‘i’ 前面只能跟著 ‘e’,‘o’；
  • 每個母音 ‘o’ 前面只能跟著 ‘i’；
  • 每個母音 ‘u’ 後面只能跟著 ‘o’,‘i’；

我們設 f[i][j] 代表當前長度為 i 且以字元 j 為結尾的字串的數目，其中在此 j=0,1,2,3,4 分別代表母音字母 ‘a’,‘e’,‘i’,‘o’,‘u’

\[\left\{ \begin{aligned} f\left[ i \right] \left[ 0 \right] &=f\left[ i-1 \right] \left[ 1 \right] +f\left[ i-1 \right] \left[ 2 \right] +f\left[ i-1 \right] \left[ 4 \right]\\ f\left[ i \right] \left[ 1 \right] &=f\left[ i-1 \right] \left[ 0 \right] +f\left[ i-1 \right] \left[ 2 \right]\\ f\left[ i \right] \left[ 2 \right] &=f\left[ i-1 \right] \left[ 1 \right] +f\left[ i-1 \right] \left[ 3 \right]\\ f\left[ i \right] \left[ 3 \right] &=f\left[ i-1 \right] \left[ 2 \right]\\ f\left[ i \right] \left[ 4 \right] &=f\left[ i-1 \right] \left[ 2 \right] +f\left[ i-1 \right] \left[ 3 \right]\\ \end{aligned} \right. \]

結果為以下列向量的值求和

\[\left( \begin{array}{c} f\left[ n \right] \left[ 0 \right]\\ f\left[ n \right] \left[ 1 \right]\\ f\left[ n \right] \left[ 2 \right]\\ f\left[ n \right] \left[ 3 \right]\\ f\left[ n \right] \left[ 4 \right]\\ \end{array} \right) \]

依賴於

\[\left( \begin{array}{c} f\left[ n-1 \right] \left[ 0 \right]\\ f\left[ n-1 \right] \left[ 1 \right]\\ f\left[ n-1 \right] \left[ 2 \right]\\ f\left[ n-1 \right] \left[ 3 \right]\\ f\left[ n-1 \right] \left[ 4 \right]\\ \end{array} \right) \]

列出遞推關係式

\[\left( \begin{array}{c} f\left[ n \right] \left[ 0 \right]\\ f\left[ n \right] \left[ 1 \right]\\ f\left[ n \right] \left[ 2 \right]\\ f\left[ n \right] \left[ 3 \right]\\ f\left[ n \right] \left[ 4 \right]\\ \end{array} \right) =\left[ \begin{matrix}{} 0& 1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ \end{matrix} \right] \left( \begin{array}{c} f\left[ n-1 \right] \left[ 0 \right]\\ f\left[ n-1 \right] \left[ 1 \right]\\ f\left[ n-1 \right] \left[ 2 \right]\\ f\left[ n-1 \right] \left[ 3 \right]\\ f\left[ n-1 \right] \left[ 4 \right]\\ \end{array} \right) =\left[ \begin{matrix}{} 0& 1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ \end{matrix} \right] ^{n-1}\left( \begin{array}{c} f\left[ 0 \right] \left[ 0 \right]\\ f\left[ 0 \right] \left[ 1 \right]\\ f\left[ 0 \right] \left[ 2 \right]\\ f\left[ 0 \right] \left[ 3 \right]\\ f\left[ 0 \right] \left[ 4 \right]\\ \end{array} \right) \]

得到係數矩陣

\[mat=\left[ \begin{matrix}{} 0& 1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ \end{matrix} \right] \]

對於係數矩陣使用矩陣快速冪

結果為

\[ans=\sum_{i=0}^4{f\left[ i \right] \left[ 0 \right]} \]

class Solution {
    long mod = 1_000_000_007;
    public int countVowelPermutation(int n) {
        
        long[][] mat =
        {
            {0, 1, 0, 0, 0}, 
            {1, 0, 1, 0, 0}, 
            {1, 1, 0, 1, 1}, 
            {0, 0, 1, 0, 1}, 
            {1, 0, 0, 0, 0}
        };
        long[][] ans = {
            {1},{1},{1},{1},{1}
        };
        int count = n - 1;

        while(count > 0) {
            if((count & 1) == 1) ans = mul(mat, ans);
            mat = mul(mat, mat);
            count >>= 1;
        }
        long res = 0;
        for(int i = 0; i < 5; i++) {
            res += ans[i][0];
        }
        return (int)(res % mod);
    }
    public long[][] mul(long[][] a, long[][] b) {
        int rowa = a.length;
        int colb = b[0].length;
        int common = b.length;
        long[][] ans = new long[rowa][colb];
        for(int i = 0; i < rowa; i++) {
            for(int j = 0; j < colb; j++) {
                for(int k = 0; k < common; k++) {
                    ans[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                    ans[i][j] %= mod;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}

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