HDU 2276 - Kiki & Little Kiki 2 (矩陣快速冪)

連結：
Kiki & Little Kiki 2

題意：
給你 n 棧燈圍成一圈，燈泡有兩種狀態開或者關 ，每秒燈泡的狀態都會發生變化，變化的規則為 ： 如果這棧燈的前一棧燈（第一棧燈的前一棧是第 n 棧燈）是亮著的那麼這棧燈的狀態機會改變（開變為關，關變為開）。現給出燈的初始狀態，求 k （1<= k <= 1e8）秒後所有燈的狀態。

思路：

1. 我們觀察到，每棧燈的狀態只由兩個位置的的狀態得到，其實就是這個位置和上一個位置的狀態異或一下。然後不難發現每一次狀態改變，只要把遞推矩陣的相應兩個位置設為 1，其他位置都是 0 就好了，再想一下 兩個位置異或 怎麼變成 加呢，其實就是 兩個位置狀態相加再對 2 取模（和異或的效果一樣），然後就可以直接快速冪遞推（如果是 4 棧燈 ，遞推矩陣如下）。

(1,0,0,1)
(1,1,0,1)
(0,1,1,0)
(0,0,1,1)

2. 其實矩陣快速冪就是一個初始矩陣的 k 次遞推，只要找到一個遞推矩陣乘上初始矩陣後使它變成下一個狀態，那麼我們就可以利用矩陣乘法的結合律，先把遞推矩陣的 k次冪算出來 ，最後乘上初始矩陣，就達到了加速的效果，可以學習一下這篇文章矩陣快速冪（原理+模板）。

程式碼：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e2 + 7;
const int mod = 2;
ll n, k,m,cnt[31][31];
char s[maxn];
struct Matrix {
    ll a[maxn][maxn];
    Matrix() {
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
    void init(){
       for(int i = 1; i <= n; i ++){
           a[i][i] = 1;
       }
    }
};
Matrix mul (Matrix x,Matrix y){
    Matrix res;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            for (int u = 1; u <= n; u++)
                res.a[i][j] = (res.a[i][j] + x.a[i][u] * y.a[u][j]) % mod;
    return res;
}
Matrix q_pow(Matrix base,ll temp){
    Matrix ans;
    ans.init();
    while(temp > 0){
        if(temp & 1) ans = mul(ans , base);
        base = mul(base , base);
        temp >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(){
   while(scanf("%lld%s",&k,s + 1) != EOF){
       n = strlen(s + 1);
       Matrix x;
       x.a[1][1] = x.a[1][n] = 1;
       for(int i = 2; i <= n; i ++){     //構造遞推矩陣
           x.a[i][i] = x.a[i][i-1] = 1;
       }
       Matrix anss = q_pow(x,k);
       Matrix y;
       for(int i = 1; i <= n; i ++){     //初始矩陣
           y.a[i][1] = s[i] - '0';
       }
       anss = mul(anss , y);
       for(int i = 1; i <= n; i ++){
          printf ("%d",anss.a[i][1]);
       }
       printf ("\n");
   }

   return 0;
}