擴充套件中國剩餘定理（EXCRT）學習筆記
用途
求解同餘方程組
\(\begin{cases}x\equiv c_{1}\left( mod\ m_{1}\right) \\ x\equiv c_{2}\left( mod\ m_{2}\right) \\ \ldots \\ x\equiv c_r\left( mod\ m_r\right) \end{cases}\)
其中 \(m_1,m_2,m_3...m_k\) 為不一定兩兩互質的整數， 求 \(x\) 的最小非負整數解。
求法
考慮兩兩合併同餘方程，使得新得到的同餘方程滿足之前兩個同餘方程的限制條件。
這樣合併到最後只剩下一個同餘方程直接輸出答案即可。
對於兩個同餘方程 \(x\%a_1=b_1,x\%a_2=b_2\)，
令 \(x=k_1a_1+b_1,x=k_2a_2+b_2\)，
那麼有 \(k_1a_1+b_1=k_2a_2+b_2\)，
\(k_1a_1-k_2a_2=b_2-b_1\)，
令 \(d=gcd(a_1,a_2)\)，如果 \((b_2-b_1)\%d \ne 0\)，那麼無解。
否則對於方程兩邊同時除以 \(d\)，
\(k_1\frac{a_1}{d}-k_2\frac{a_2}{d}=\frac{b_2-b_1}{d}\),
\(k_1\frac{a_1}{d}=\frac{b_2-b_1}{d}+k_2\frac{a_2}{d}\)，
可以看作 \(k_1\frac{a_1}{d}\%\frac{a_2}{d}=\frac{b_2-b_1}{d}\)，
令 \(inv=\frac{a_1}{d} \% \frac{a_2}{d}\) 意義下的逆元，
對於方程兩邊同時乘 \(inv\)，
有 \(k_1\%\frac{a_2}{d}=\frac{inv(b_2-b_1)}{d}\)，
展開後有 \(k_1=\frac{inv(b_2-b_1)}{d}+k_2\frac{a_2}{d}\)，
代入開始的 \(x=a_1k_1+b_1\)，
有 \(x=\frac{a_1inv(b_2-b_1)}{d}+k_2\frac{a_1a_2}{d}+b_1\)，
把 \(\frac{a_1a_2}{d}\) 看成新的 \(a\)，把 \(\frac{a_1inv(b_2-b_1)}{d}+b_1\) 看成新的 \(b\) 即可。
程式碼
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define rg register
template<typename T>void read(rg T& x){
x=0;rg int fh=1;
rg char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
x*=fh;
}
const int maxn=1e5+5;
int n;
long long a[maxn],b[maxn];
long long gcd(rg long long aa,rg long long bb){
return bb==0?aa:gcd(bb,aa%bb);
}
long long lcm(rg long long aa,rg long long bb){
return aa/gcd(aa,bb)*bb;
}
long long exgcd(rg long long aa,rg long long bb,rg long long&xx,rg long long&yy){
if(bb==0){
xx=1,yy=0;
return aa;
}
rg long long nans=exgcd(bb,aa%bb,xx,yy);
rg long long t=xx;
xx=yy;
yy=t-aa/bb*yy;
return nans;
}
long long getinv(rg long long val,rg long long mod){
rg long long xx,yy;
exgcd(val,mod,xx,yy);
return (xx%mod+mod)%mod;
}
long long gsc(rg long long ds,rg long long zs,rg long long mod){
return ((unsigned long long)(ds*zs)-(unsigned long long)((long double)ds/mod*zs)*mod+mod)%mod;
}
int main(){
read(n);
for(rg int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),read(b[i]);
rg long long newa,newb,tmp;
for(rg int i=2;i<=n;i++){
newa=lcm(a[i],a[i-1]),tmp=gcd(a[i],a[i-1]);
newb=gsc((b[i]-b[i-1])/tmp,getinv(a[i-1]/tmp,a[i]/tmp),newa);
newb=gsc(newb,a[i-1],newa)+b[i-1];
newb=(newb%newa+newa)%newa;
a[i]=newa,b[i]=newb;
}
printf("%lld\n",b[n]);
return 0;
}