等價類
在計數問題中，需要明確計數的物件中哪些是視為相同的，哪些是不同的。我們可以在物件的集合上定義一種 等價關係，然後對 等價類 計數。
關係
對於一個集合 \(X\)，它的關係是集合 \(X\times X\) 的一個子集 \(R\)。如果對於 \(x, \ y \in X\)，有 \((x, y) \in R\)，我們稱 \(x, \ y\) 有關係 \(R\)，記作 \(xRy\)。
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\(\text{等於 }\subseteq \mathbb{R^2}, \ \text{等於 } = \{(x, y)\in \mathbb{R^2} \mid x = y\}\)。
如果 \(x \text{等於} y\)，那麼 \((x, y) \in \text{等於}, \ x = y\)。
-
\(\equiv_m\subseteq \mathbb Z^2, \ \equiv_m = \{(x, y) \in\mathbb Z^2\mid x = y + km\}\)。
如果 \(x\equiv_my\)，那麼 \((x, y) \in \equiv_m, \ x = y + km\)。
等價關係
如果關係 \(R\) 滿足：
- 自反性：\(\forall x\in X, \ xRx\)。
- 對稱性：\(\forall x, y \in X, \ xRy\Leftrightarrow yRx\)。
- 傳遞性：\(\forall x, y, z \in X, \ xRy\land yRz\Rightarrow xRz\)。
則稱 \(R\) 是 \(X\) 上的一個等價關係。
等價類
假設關係 \(R\) 是 \(X\) 上的一個等價關係，對於 \(x\in X\)，令 \(\mathbf{x}_R = \{y \in X\mid xRy\}\)，則
- 如果 \(xRy\) 成立，那麼 \(\mathbf x_R = \mathbf y_R\)（\(xRz \land xRy \Rightarrow yRz\)）。
- 如果 \(xRy\) 不成立，那麼 \(\mathbf x_R \cap \mathbf y_R = \varnothing\)（\(xRz \land yRz \Rightarrow xRy\)）。
則稱 \(\mathbf x_R\) 為代表元 \(x\) 的一個 \(R\) 等價類，所有 \(R\) 的等價類構成集合 \(X\) 的一個分劃。
例：給一個 \(n\) 元環的節點塗上顏色，\(m\) 種顏色，透過旋轉得到的方案算同一種方案，求方案數。
定義關係 \(R = \{\text{(方案一, 方案二)}\mid 方案一透過旋轉得到方案二\}\)。
自反性：\((\text{方案一, 方案一})\in R\)。
對稱性：\((\text{方案一, 方案二})\in R\Leftrightarrow (\text{方案二, 方案一})\in R\)。
傳遞性：\((\text{方案一, 方案二})\in R \land \text{方案二, 方案三})\in R\Rightarrow (\text{方案一, 方案三})\in R\)。
所以 \(R\) 是 \(\{所有方案\}\) 上的一個等價關係，將問題轉化為求 的 \(\{所有方案\}\) 的 \(R\) 等價類有多少。
一般來說，我們可以把等價關係描述為：兩個物件等價當且僅當一個物件可以透過 "某些操作" 變為另一物件，這促使我們考慮所有 "操作" 的集合的性質。
置換群
我們用置換群來刻畫 "操作" 的集合。
置換
設 \(n\) 元集合 \(A = \{a_1, a_2\dots,a_n\}\)，將 \(A\) 上的一個一一對映 \(g:A\rightarrow A\) 稱為 \(A\) 上的一個置換。
置換 \(g = [p_1, p_2,\dots, p_n]\) 表示 \(\forall i.g(a_i) = a_{p_i}\)。
- \(n\) 元集合上的置換有 \(n!\) 個。
- 將置換 \(g\) 的每個 \(i\) 指向 \(p_i\)，得到一個環的森林。
置換的複合
\(A\) 的置換 \(g, h\) 的複合是一個新的置換，記為 \(g\circ h\)，滿足 \((g\circ h)(a_i) = g(h(a_i))\)。
例：假設 \(A = \{1,2, \dots, n\}, \ g = [2, 3, \dots, n, 1], \ h = [2, 3, \dots, n, 1]\)，則 \(g\circ h = [3,4,\dots,1,2]\)。
群
設集合 \(G\) 和一個定義在 \(G\) 上的二元運算 \(\circ:G\times G\rightarrow G\)，滿足：
- 結合律：\(\forall a, b, c\in G.(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)\)。
- 單位元：\(\exists e\in G.\forall a\in G.a\circ e = e\circ a = a\)。
- 逆元：\(\forall a \in G.\exists b \in G. a\circ b = b\circ a = e\)，記為 \(a^{-1}\)。
則稱 \((G, \circ)\) 是一個群。
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\((\mathbb R,+)\)。
結合律：\(\forall a, b, c\in \mathbb R.(a + b)+ c = a+ (b + c)\)。
單位元：\(e = 0.\forall a\in \mathbb R.a + 0 = 0 + a = a\)。
逆元：\(\forall a \in \mathbb R.a^{-1} = -a. a + (-a) = (-a) + a = 0\)。
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令 \(S_n\) 為全部 \(n\) 元置換的集合，\(\circ\) 為置換的複合，則 \((S_n, \circ)\) 是一個群。（對稱群）
結合律：\(\forall f, g, h\in S_n.(f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h)\)。
\[\begin{cases} ((f\circ g) \circ h)(a_i) = (f\circ g) (h(a_i)) = f(g(h(a_i)))\\ \\ (f\circ (g \circ h))(a_i) = f(g\circ h(a_i)) = f(g(h(a_i)))\\ \end{cases} \]單位元：\(e = [1,2, \dots, n], \ \forall f\in S_n.f\circ e = e\circ f = f\)。
逆元：\(\forall f \in G\)，\(f^{-1}\) 是其反函式。
置換群
\(G\) 是置換的集合，\(\circ\) 為置換的複合，且 \((G, \circ)\) 是一個群，稱 \((G, \circ)\) 是一個置換群。（對稱群的子群）
例：
設 \(n\) 元環的 \(n\) 個節點分別為 \(a_1, a_2\cdots, a_n\)，旋轉操作可以看成 \(A = \{a_1, a_2, \cdots, a_n\}\) 上的 \(n\) 個置換，其中 \(g_i = [i + 1, i + 2,\cdots,n, 1\cdots,i]\)。
設集合 \(G = \{g_0, g_1, \cdots, g_{n - 1}\}\)，則 \((G, \circ)\) 是一個置換群，稱為正 \(n\) 邊形旋轉群。
若 \(g_i, g_j\in G\)，則 \(g_i\circ g_j = g_{i + j\bmod n} \in G\)，所以複合運算關於 \(G\) 是封閉的。
單位元：\(g_0\)。逆元：\(g_i^{-1} = g_{n - i\bmod n}\)。
群對集合的作用
一個操作會將一個物件改變為另一個物件，形式化的：
設 \((G, \circ)\) 是一個群，其單位元為 \(e\)，群 \(G\) 對集合 \(X\) 的作用是一個 \(G\times X\) 到 \(X\) 的對映 \(f\)。
我們把 \(f(g, x)\) 記做 \(g_f(x)\) 或（沒有歧義的情況下記成）\(g(x)\)，滿足：
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\(\forall x\in X, f(e, x) = x\)。
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\(\forall g, h\in G.f(g\circ h, x) = f(h, f(h, x))\)。
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\(X\) 上的 \(G\) 關係：\(R_G = \{(x, y\mid x, y\in X \land (\exists g\in G.y = g(x))\}\)，即 \(y\) 透過 \(G\) 的作用能變成 \(x\)。
具體的講，一種染色方案能透過正 \(n\) 邊形旋轉群上的作用變為另一種，則稱這兩種方案是等價的。
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\(R_G\) 是等價關係，它將 \(X\) 劃分為若干個等價類，每個等價類稱為 \(X\) 上的 \(G\text{-}\)軌道。
例：
設 \(n\) 元環的 \(n\) 個節點分別為 \(a_1, a_2\cdots, a_n\)，令 \(A = \{a_1, a_2, \cdots, a_n\}\)。設顏色集合 \(B = \{b_1, b_2\cdots, b_m\}\)，染色操作可以看成 \(A\) 到 \(B\) 的對映，令 \(X\) 是所有這些對映的集合，即 \(X = \{x\mid x: A\rightarrow B\}\)。
令 \(G = \{g_0, g_1,\dots, g_{n - 1}\}\) 是正 \(n\) 邊形旋轉群，定義 \(G\times X\) 到 \(X\) 的對映 \(f\)。
其中 \(\forall i \in [0, n), x \in X.y = f(g_i, x)\) 滿足 \(\forall j \in [0, n), \ y(a_j) =x(g(a_j) )\)，可以證明 \(f\) 是 \(G\) 對 \(X\) 的一個作用，簡記 \(y = f(g_i, x)\) 或 \(y = g_i(x)\)。
實際意義就是先把 \(a_i\) 透過置換變為新的節點 \(a_j\)，再看 \(a_j\) 在原來的 \(x\) 上會被染成什麼顏色，把這個顏色安排給 \(a_i\)。
\(X\) 上的 \(G\) 關係為 \(R_G = \{(x, y\mid x, y\in X \land (\exists g\in G.y = g(x))\}\)，\(xR_Gy\) 當且僅當染色方案 \(x\) 能透過旋轉得到 \(y\)。
不同的染色方案，即 \(X\) 上 \(G\text{-}\) 軌道的數量。
Burnside 引理
定理
設有限群 \((G, \circ)\) 作用在有限集 \(X\) 上，則 \(X\) 的 \(G\text{-}\) 軌道數量為
其中 \(\psi(g)\) 表示滿足 \(g(x) = x\) 的 \(x\) 的數量。
置換群的輪換指標
給一個六元環的節點染色，共 \(m\) 種顏色，透過旋轉得到的算一種方案，求方案數。
令 \(X = \{\{a_1, a_2, \dots, a_6\}\rightarrow\{b_1, b_2,\dots,b_m\}\}\)，\(G\) 是正六邊形旋轉群，分別是：
- \(e = [1, 2, 3, 4, 5, 6], \ \psi(e) = m^6\)。
- \(g_1 = [2, 3, 4, 5, 6, 1], \ \psi(g_1) = m\)。
- \(g_2 = [3, 4, 5, 6, 1, 2], \ \psi(g_1) = m^2\)。
- \(g_3 = [4, 5, 6, 1, 2, 3], \ \psi(g_1) = m^3\)。
- \(g_4 = [5, 6, 1, 2, 3, 4], \ \psi(g_1) = m^2\)。
- \(g_5 = [6, 1, 2, 3, 4, 1], \ \psi(g_1) = m\)。
因此 \(N = \dfrac{1}{6}(m^6 + m^3 + 2m^2 + 2m)\)。