正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P1446

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題目大意

三個顏色的一些東西排在一起，給$m$種置換，求本質不同的染色方案數。

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解題思路

$Burnside$引理：置換集合$G$時本質不同的序列方案等於$\frac{{\sum }_{x\in G}c(x)}{|G|}$，$c(x)$表示置換$x$中的不動點個數。

也就是每個迴圈中的顏色都相同，可以把每個迴圈視為一個物品，然後放入容量為$r,g,b$的揹包裡的方案數，求解即可。

時間複雜度$O(r\ast g\ast b\ast m)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll r,b,g,m,p,n,tot,ans;
ll siz[81],f[21][21][21],y[81];
bool v[81];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%p;
		x=x*x%p;b>>=1;
	}
	return ans;
}
ll solve(){
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(v,0,sizeof(v));
	tot=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		if(v[i])continue;
		siz[++tot]=0;ll x=i;
		while(!v[x]){
			siz[tot]++;
			v[x]=1;x=y[x];
		}
	}
	f[0][0][0]=1;
	for(ll x=1;x<=tot;x++)
		for(ll i=r;i>=0;i--)
			for(ll j=g;j>=0;j--)
				for(ll k=b;k>=0;k--){
					if(i>=siz[x])(f[i][j][k]+=f[i-siz[x]][j][k])%=p;
					if(j>=siz[x])(f[i][j][k]+=f[i][j-siz[x]][k])%=p;
					if(k>=siz[x])(f[i][j][k]+=f[i][j][k-siz[x]])%=p;
				}
	return f[r][g][b];
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&r,&g,&b,&m,&p);
	n=r+b+g;
	for(ll i=1;i<=n;i++)y[i]=i;
	ans=solve();
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		for(ll j=1;j<=n;j++)
			scanf("%lld",&y[j]);
		(ans+=solve())%=p;
	}
	printf("%lld\n",ans*power(m+1,p-2)%p);
	return 0;
}