擴充套件中國剩餘定理

擴充套件中國剩餘定理：

與中國剩餘定理同樣，但 \(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 不互質。

若 \(n=2\) ：

\[\begin{cases} x\equiv a_1(\bmod m_1)\\ x\equiv a_2(\bmod m_2) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x= k_1m_1+a_1\\ x= k_2m_2+a_2 \end{cases} (k\in \mathbb{N}) \]

\(\therefore m_1k_1+a_1=m_2k_2+a_2\ \ \Rightarrow \ \ m_1k_1-m_2k_2=a_2-a_1\)

當且僅當 \(\gcd(m_1,m_2)\mid a_2-a_1\) 時有解，用 \(exgcd\) 求得一組解 \((k_1',k_2')\) ，帶入方程組中得 \(x=x_0\) 。

$\therefore $ \(x\) 的通解為 \(x=x_0+z\times {\rm lcm}(m_1,m_2)\)

令 \(M={\rm lcm}(m_1,m_2),A=x_0\) ，則 \(x=A+z\times M\Rightarrow x\equiv A(\bmod M)\)

這樣就把兩個同餘式換成了一個同餘式，以此類推即可求解。

程式碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1e5+10;

LL r[maxn], m[maxn];

LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{
	if(b){
		LL d = exgcd(b, a%b, y, x);
		y -= a/b*x;
		return d;
	}
	x = 1;	y = 0;
	return a;
}

LL quick_mul(LL a, LL b, LL mod)
{
	LL ans = 0;
	while(b>0){
		if(b&1)
			ans = (ans + a) % mod;
		a = (a << 1) % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

LL excrt(int n)
{
	LL M=m[1], R=r[1], k1, k2;
	for(int i=2; i<=n; ++i)
	{
		LL a=M, b=m[i];
		LL c = ((r[i]-R)%b + b) % b;// 求ax+by=c即求ax同餘c(mod b)，所以mod b對於答案沒有影響
		LL d = exgcd(a, b, k1, k2);
		if(c%d != 0)	return -1; // 無解 
		
		k1 = quick_mul(k1, c/d, b/d); // 找出方程 ak1+bk2=c的最小非負整數解  
		R += k1 * M;
		M = a/d*b;
		R = (R%M + M) % M; 
	}
	return (R%M + M) % M;
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		scanf("%lld%lld", &m[i], &r[i]); // m[i] 表示模數， r[i] 表示餘數 
	printf("%lld\n", excrt(n));
	return 0;
}