噁心東西爬、、、
我們要求解一個 \(\binom{n}{m}\mod M\),\(M\) 是不太大的正整數,\(n,m\) 是可能比較大的正整數。
首先我們分解 \(M=\prod_{i=1}^kp_i^{x_i}\),我們對於每一個 \(i\in[1,k]\) 求出 \(\binom{n}{m}\mod p_i^{x_i}\),然後就會組成一個方程組,\(Ans\equiv\binom{n}{m}\pmod p_i^{x_i}\),因為模數顯然互質,所以此時的 \(Ans\) 可以透過 CRT 求解。
問題是怎麼求這個 \(\binom{n}{m}\mod p^k\) 呢,我們知道有 \(a\) 在 \(\mod p\) 意義下有逆元的充要條件是 \(a\bot p\),這個地方就顯得不一定有逆元了,不能直接求解,我們考慮變形:
然後求解 \(\frac{n!}{p^x}\pmod {p^k}\),這個 \(x\) 儘量往大了取,先挑出 \(p\) 的倍數直接做。
後面那一段其實是有一個長度為 \(p^k\) 的迴圈節的,手玩可得,好像是一個威爾遜定理的推論,所以我們可以拆開寫 >w<
寫成遞迴的函式形式,那麼 \(f(n)\equiv\frac{n!}{p^x}\pmod p\),有下柿:
直接遞迴暴力做就行了謝謝喵,放回去原式,發現 \(\frac{\frac{n!}{p^x}}{\frac{m!}{p^y}\frac{(n-m)!}{p^z}}p^{x-y-z}\) 前面的分數部分可以做了,那麼還差一個 \(p^{x-y-z}\) 的指數,這個東西顯然是 \(f(n)\) 中省去的 \(p^{⌊\frac{n}{p}⌋}\) 的指數部分,可以直接累加這一部分。
然後終於他媽的做完了 /lh
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define up(i,l,r) for(int i=l; i<=r; ++i)
#define dn(i,r,l) for(int i=r; i>=l; --i)
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
if(!b) return y=0, x=1, a;
int ans=exgcd(b,a%b,y,x);
return y-=a/b*x, ans;
}
int inv(int a,int p) {
int x, y; exgcd(a,p,x,y);
return (x%p+p)%p;
}
int ksm(int a,int b,int p) {
int res=1%p;
for( ; b; b>>=1) {
if(b&1) res=res*a%p;
a=a*a%p;
}
return res;
}
int fac(int n,int pi,int pk) {
if(!n) return 1;
int res=1;
up(i,2,pk) if(i%pi) res=res*i%pk;
res=ksm(res,n/pk,pk);
up(i,2,n%pk) if(i%pi) res=res*i%pk;
return res*fac(n/pi,pi,pk)%pk;
}
int C(int n,int m,int pi,int pk) {
int above=fac(n,pi,pk), l=fac(m,pi,pk), r=fac(n-m,pi,pk), k=0;
for(int i=n; i; i/=pi) k+=i/pi;
for(int i=m; i; i/=pi) k-=i/pi;
for(int i=n-m; i; i/=pi) k-=i/pi;
return above*inv(l,pk)%pk*inv(r,pk)%pk*ksm(pi,k,pk)%pk;
}
int exlucas(int n,int m,int p) {
int ans=0, x=p, t=sqrt(x);
up(i,2,t) if(x%i==0) {
int mul=1;
while(x%i==0) x/=i, mul*=i;
ans=(ans+C(n,m,i,mul)*(p/mul)%p*inv(p/mul,mul)%p)%p;
}
if(x>1) ans=(ans+C(n,m,x,x)*(p/x)%p*inv(p/x,x)%p)%p;
return ans;
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
int n, m, p;
cin >> n >> m >> p;
cout << exlucas(n,m,p);
return 0;
}