Carathéodory 擴張定理

[T241107] (Carathéodory 擴張) 設 \(\mu\) 是代數 \(\mathscr F_0\) 上的預測度, 則其外測度 \(\mu^*\) 是 \(\mu\) 的一個擴張, 稱為 \(\mu\) 的 Carathéodory 擴張. (即 \(\mu^*\) 是 \((\Omega,\sigma(\mathscr F_0))\) 上的測度且在 \(\mathscr F_0\) 上與 \(\mu\) 一致)
Proof: 只需證明 \(\mu^*\) 是 \(\mathscr F=\mathscr \sigma(F_0)\) 上的測度且在 \(\mathscr F_0\) 上與 \(\mu\) 一致.
(Step1.) 先證明 \(\mu^*\) 在 \(\mathscr F_0\) 上與 \(\mu\) 一致, 即證 \(\forall A\in\mathscr F_0\), 滿足 \(\mu^*(A)=\mu(A)\). 注意到

\[\mu^*(A)=\inf\left\{\sum_n\mu(A_n):\{A_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nA_n\supset A\right\}, \]

而 \(A\cup\varnothing\cup\varnothing\cup\cdots\supset A\), 因此

\[\mu^*(A)\le \mu(A)+\mu(\varnothing)+\mu(\varnothing)+\cdots=\mu(A). \]

另一方面, 若 \(\mu^*(A)<+\infty\), 則對 \(\forall\varepsilon>0, ~\exists~A_n\in\mathscr F_0\), 使得 \(\bigcup\limits_nA_n\supset A\), 且

\[\sum_n\mu(A_n)<\mu^*(A)+\varepsilon. \]

由 \(\mu\) 的可列可加性和單調性知

\[\begin{aligned} \mu(A)&\le\mu\left(\bigcup_nA_n\right)=\mu\left(A_1\cup (A_2\cap A_1^c)\cup(A_3\cap(A_1\cup A_2)^c)\cdots\right)\\ &=\mu(A_1)+\mu(A_2\cap A_1^c)+\mu(A_3\cap(A_1\cup A_2)^c)+\cdots\\ &\le\sum_n\mu(A_n)<\mu^*(A)+\varepsilon. \end{aligned} \]

再由 \(\varepsilon\) 的任意性可知 \(\mu(A)\le\mu^*(A)\). 綜上, \(\mu(A)=\mu^*(A)\).
(Step2.) 再證明 \(\mu^*\) 是 \(\mathscr F=\mathscr \sigma(F_0)\) 上的測度, 只需證明 \(\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\subset\mathscr M\), 其中 \(\mathscr M\) 是 \(\mu^*\) 可測子集全體構成的 \(\sigma\) 代數.

見“\((\Omega,\mathscr M,\mu^*)\) 是完備測度空間”: https://www.cnblogs.com/sufewsj/p/18526955

對 \(\forall A\in\mathscr F_0\), 要證明 \(A\in\mathscr M\). 對 \(\forall E\subset\Omega\), 不妨設 \(\mu^*(E)<\infty\), 則對 \(\forall \varepsilon>0\), 存在子集列 \(\{A_n\}\subset\mathscr F_0\) 滿足 \(\cup_nA_n\supset E\) 且 \(\sum\limits_n\mu(A_n)<\mu^*(E)+\varepsilon\), 因而

\[\begin{aligned} \mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)&\le\mu^*\left(\bigcup_n(A_n\cap A)\right)+\mu^*\left(\bigcup_n(A_n\cap A^c)\right)\\ (\text{外測度的次可列可加性})~&\le\sum_n\left[\mu^*(A_n\cap A)+\mu^*(A_n\cap A^c)\right]\\ (\text{Step1.})~&=\sum_n\left[\mu(A_n\cap A)+\mu(A_n\cap A^c)\right]\\ (\text{預測度的可列可加性})~&=\sum_n\mu(A_n)\\ &<\mu^*(E)+\varepsilon \end{aligned} \]

由 \(\varepsilon\) 的任意性可知 \(\mu^*(E)\ge\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)\), 即 \(A\) 滿足 Carathéodory 條件, 從而 \(A\in\mathscr M\). 由 \(A\) 在 \(\mathscr F_0\) 中的任意性可知 \(\mathscr F_0\subset\mathscr M\), 從而 \(\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\subset\sigma(\mathscr M)=\mathscr M\), 故 \(\mu^*\) 是 \(\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\) 上的測度.
綜上, \(\mu^*\) 限制在 \(\mathscr F\) 上是 \(\mu\) 的一個擴張. #