sigma有限的預測度的擴張是唯一的

[T241109] 若 \(\mu\) 是代數 \(\mathscr F_0\) 上的 \(\sigma-\)有限的預測度, 則 \(\mu\) 的擴張是唯一的.
Proof: 設 \(\mu\) 的 Carathéodory 擴張還用 \(\mu\) 表示, 任取 \(\mu\) 的一個擴張 \(\mu'\), 只需證明 \(\mu\) 和 \(\mu'\) 在 \(\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\) 上是一致的. 因為 \(\mu'\) 是 \(\mu\) 的一個擴張, 故它們在 \(\mathscr F_0\) 上是一致的.
由於 \(\mu\) 是 \(\mathscr F_0\) 上的預測度, 故存在 \(\Omega_0\in\mathscr F_0\), 使得 \(\mu(\Omega_0)<\infty\). 令

\[\mathscr A_0:=\{A\in\mathscr F\cap \Omega_0:\mu'(A)=\mu(A)\} \]

  注意到對 \(\forall A\in\mathscr F_0\cap\Omega_0\), 有 \(A=\Omega_0\cap A_0,~A_0\in\mathscr F_0\), 由於 \(\mathscr F_0\) 對補集和有限並, 因此 \(\mathscr F_0\) 對有限交也封閉, 故 \(A\in\mathscr F_0\), 從而 \(\mu'(A)=\mu(A)\), 顯然 \(A\in\mathscr F_0\cap\Omega_0\subset\mathscr F\cap\Omega_0\), 故 \(A\in\mathscr A_0\), 故 \(\mathscr F_0\cap\Omega_0\subset\mathscr A_0\).
  下證 \(\mathscr A_0\) 是 \(\Omega_0\) 上的 Dynkin 系
  （1）先證 \(\mathscr A_0\) 包含 \(\varnothing\), 注意到 \(\varnothing\in\mathscr F_0\), 故 \(\mu'(\phi) = \mu(\phi)\), 從而 \(\phi \in \Omega_0\);
  （2）再證 \(\mathscr A_0\) 對於補集運算封閉. 對 \(\forall A\in\mathscr A_0\), 要證 \(A^c\in\mathscr A_0\). 注意到 \(A\in\mathscr F\cap\Omega_0\) 而 \(\mathscr F\cap\Omega_0\) 是一個 \(\sigma-\)代數, 故 \(A^c\in\mathscr F\cap\Omega_0\), 從而必有 \(A^c\in\Omega_0\). 又 \(A\) 是可測集, 故有

\[\mu(\Omega_0) = \mu(\Omega_0 \cap A) + \mu(\Omega_0 \cap A^c) = \mu(A) + \mu(A^c)\\ \mu'(\Omega_0) = \mu'(\Omega_0 \cap A) + \mu'(\Omega_0 \cap A^c) = \mu'(A) + \mu'(A^c) \]

又 \(\mu(\Omega_0) = \mu'(\Omega_0)\), \(\mu(A) = \mu'(A)\)，故 \(\mu'(A^c)=\mu'(A^c)\). 從而 \(A^c\in\mathscr A_0\), 故 \(\mathscr A_0\) 對於不急運算封閉.
  （3）最後證明 \(\mathscr A_0\) 對於不交可列並運算封閉. 設 \(\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\) 是 \(\mathscr A_0\) 上互不相交的集合, 即 \(A_i\cap A_j=\varnothing~(i\neq j)\), 要證 \(\bigcup\limits_nA_n\in\mathscr A_0\). 注意到 \(A_n\in\mathscr F\cap\Omega_0\), 而 \(\mathscr F\cap\Omega_0\) 是 \(\sigma-\)代數. 從而 \(\bigcup\limits_nA_n\in\mathscr F\cap\Omega_0\). 注意到

\[\begin{aligned} \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)&=\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\cap A_1\right)+\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\cap A_1^c\right)\\ &=\mu(A_1)+\mu\left(\bigcup_{n=2}^{\infty}A_n\right)\\ &=\mu(A_1)+\mu(A_2)+\mu\left(\bigcup_{n=3}^{\infty}A_n\right)\\ &=\sum_{k=1}^N\mu(A_k)+\mu\left(\bigcup_{n=N+1}^{\infty}A_n\right) \end{aligned} \]

注意到 \(\mu,\mu'\) 在 \(\mathscr F\cap\Omega_0\) 上是有限測度. 令 \(n\to\infty\), 有

\[\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n). \]

同理

\[\mu'\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu'(A_n). \]

而 \(\mu(A_n)=\mu'(A_n),~n\in\mathbb N^+\), 故

\[\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\mu'\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) \]

於是 \(\bigcup\limits_nA_n\in\mathscr A_0\). 故 \(\mathscr A_0\) 對於不交可列並運算封閉.
  因為 \(\mathscr F_0\cap\Omega_0\) 是 \(\Omega_0\) 上的代數, 顯然是 \(\pi-\)類, 故由 Dynkin 引理可知

\[\mathscr A_0\supset\delta(\mathscr F_0\cap\Omega_0)=\sigma(\mathscr F_0\cap\Omega_0)=\mathscr F\cap\Omega_0 \]

故在 \(F\cap\Omega_0\) 上 \(\mu\) 與 \(\mu'\) 也一致.
  由 \(\sigma-\)有限性, 可取得遞增集列 \(\{\Omega_n\}\subset\mathscr F_0\) 滿足 \(\cup_n\Omega_n=\Omega\) 且 \(\mu(\Omega_n)<\infty\). 於是對 \(\forall A\in\mathscr F\), 有

\[\mu'(A)=\lim\limits_n\mu'(A\cap \Omega_n)=\lim\limits_n\mu(A\cap\Omega_n)=\mu(A).\quad\# \]