UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理7 Kolmogorov extension theorem及其擴充套件

一個不願透露姓名的孩子發表於2020-12-24

UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理7 Kolmogorov extension theorem及其擴充套件

上一講為了構造包含無限個獨立隨機變數的序列,我們使用了Kolmogorov extension theorem:

如果在 ( R n , B ( R n ) ) (\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)) (Rn,B(Rn))上有概率測度 ν n \nu_n νn,且 ν n \nu_n νn是一致的(consistent),即 ν n + 1 ( ( a 1 , b 1 ] × ⋯ × ( a n , b n ] × R ) = ν n ( ( a 1 , b 1 ] × ⋯ × ( a n , b n ] ) \nu_{n+1}((a_1,b_1] \times \cdots \times (a_n,b_n] \times \mathbb{R})=\nu_n((a_1,b_1] \times \cdots \times (a_n,b_n] ) νn+1((a1,b1]××(an,bn]×R)=νn((a1,b1]××(an,bn])那麼我們可以在可測空間 ( R ∞ , B ( R ∞ ) ) (\mathbb{R}^{\infty},\mathcal{B}(\mathbb{R}^{\infty})) (R,B(R))上構造唯一一個概率測度 P P P,它滿足 P ( { w : w i ∈ ( a i , b i ] , 1 ≤ i ≤ n } ) = ν n ( ( a 1 , b 1 ] × ⋯ × ( a n , b n ] ) P(\{w:w_i \in (a_i,b_i],1 \le i \le n\}) = \nu_n((a_1,b_1] \times \cdots \times (a_n,b_n] ) P({w:wi(ai,bi],1in})=νn((a1,b1]××(an,bn])

這一講我們介紹Kolmogorov extension theorem的證明。另外,基於這個定理,我們只能在樣本空間是無窮維的歐氏空間的情況下定義概率,我們希望在其他的無窮維空間上也可以定義概率,於是我們需要對Kolmogorov extension theorem進行擴充套件,這一講也會介紹一些相關的推廣。


Kolmogorov擴充套件定理的證明

Kolmogorov擴充套件定理有很多版本的證明,這裡介紹經典證明的思路以及一種新的證明思路,並附上參考文獻。

版本一:基於有限維的測度在無窮維歐氏空間上定義pre-measure,然後用pre-measure匯出外測度,再用Caratheodory擴張的思路得到測度(這個是經典的實分析構造測度的思路,版本一超連結點進去的證明比較長,這裡有一個簡化版本,以及還有一個更詳細的版本

版本二:考慮到 ∣ 2 N ∣ = ∣ R ∣ |2^{\mathbb{N}}|=|\mathbb{R}| 2N=R,我們可以在自然數集的冪集中討論問題,也就是用以 2 2 2為底的冪級數代替實數進行分析,雖然得到測度還是需要Caratheodory擴張,但這個版本的證明是最簡潔的。


推廣1 standard Borel空間 (nice spaces)
考慮可測空間 ( S , S ) (S,\mathcal{S}) (S,S),稱它是標準Borel空間如果存在從 S S S R \mathbb{R} R的雙射 ϕ \phi ϕ,並且 ϕ , ϕ − 1 \phi,\phi^{-1} ϕ,ϕ1都是可測的,這樣的空間也被稱為nice space。Kolmogorov extension theorem適用於這樣的空間。

推廣2 離散型隨機變數
Kolmogorov extension theorem適用於離散型隨機變數。

推廣3 not nice spaces
可以使用Ionescu-Tulcea theorem作為Kolmogorov extension theorem的推廣。這裡僅給出Ionescu-Tulcea theorem的內容。

首先我們引入一個概念,Markov kernel,可以把它理解為Markov鏈的狀態轉移矩陣推廣到用對映表示的一種更一般的工具。我們回顧一下狀態轉移矩陣, [ p i j ] [p_{ij}] [pij]表示從狀態 j j j轉移到狀態 i i i的概率,抽象成對映的話 j , i j,i j,i就是輸入,輸出是一個概率,有了這個思路之後我們嘗試給出Markov kernel的正式定義:

假設 ( X , A ) , ( Y , B ) (X,\mathcal{A}),(Y,\mathcal{B}) (X,A),(Y,B)是兩個可測空間,定義對映 κ : B × X → [ 0 , 1 ] \kappa:\mathcal{B} \times X \to [0,1] κ:B×X[0,1],滿足

  1. 給定 B ∈ B B \in \mathcal{B} BB, x → κ ( B , x ) x \to \kappa(B,x) xκ(B,x) A \mathcal{A} A-可測的;
  2. 給定 x ∈ X x \in X xX B → κ ( B , x ) B \to \kappa(B,x) Bκ(B,x)是一個概率測度;

直白的說 κ ( B , x ) \kappa(B,x) κ(B,x)應該表示從狀態 x x x轉移到狀態集 B B B的概率,稱這樣的 κ \kappa κ是一個Markov kernel。

推廣2指出Kolmogorov extension theorem適用於離散型隨機變數,因此也就適用於Markov鏈,那麼如果我們把Markov鏈推廣到了Markov kernel,並給出基於Markov kernel進行extension的做法,我們就可以對一般的概率空間也進行與Kolmogorov extension類似的操作,使之能推廣到無窮維了。這就是Ionescu-Tulcea theorem的基本思路。下面我們敘述一下定理內容:

假設 ( Ω 0 , A 0 , P 0 ) (\Omega_0,\mathcal{A}_0,P_0) (Ω0,A0,P0)是一個概率空間, ( Ω i , A i ) (\Omega_i,\mathcal{A}_i) (Ωi,Ai)是一系列可測空間, i ≥ 1 i \ge 1 i1,對每一個這樣的可測空間,我們都可以定義一個 ( Ω i − 1 , A i − 1 ) (\Omega^{i-1},\mathcal{A}^{i-1}) (Ωi1,Ai1) ( Ω i , A i ) (\Omega_i,\mathcal{A}_i) (Ωi,Ai)之間的Markov kernel κ i \kappa_i κi,其中
Ω i − 1 = ∏ k = 0 i − 1 Ω k , A i − 1 = ⊗ k = 0 i − 1 A k \Omega^{i-1} = \prod_{k=0}^{i-1}\Omega_k,\mathcal{A}^{i-1} = \otimes_{k=0}^{i-1} \mathcal{A}_k Ωi1=k=0i1Ωk,Ai1=k=0i1Ak

σ \sigma σ-代數的乘積不太熟悉的讀者可以參考乘積測度。則對每一個 ( Ω i , A i ) (\Omega_i,\mathcal{A}_i) (Ωi,Ai),存在一個概率測度
P i = P 0 ⊗ ( ⊗ k = 1 i κ i ) P_i = P_0 \otimes (\otimes_{k=1}^i \kappa_i) Pi=P0(k=1iκi)

並且在無窮維乘積空間 ( ∏ k = 0 ∞ Ω k , ⊗ k = 0 ∞ A k ) (\prod_{k=0}^{\infty}\Omega_k,\otimes_{k=0}^{\infty}\mathcal{A}_k) (k=0Ωk,k=0Ak)上存在唯一的概率測度,它滿足
P ( A × ∏ k = i + 1 ∞ Ω k ) = P i ( A ) , ∀ A ∈ A i P(A \times \prod_{k=i+1}^{\infty} \Omega_k) = P_i(A),\forall A \in \mathcal{A}^i P(A×k=i+1Ωk)=Pi(A),AAi

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