「ExLucas」學習筆記

RubyonlyK發表於2020-10-02
筆記

「ExLucas」學習筆記

前置芝士

  • 中國剩餘定理 \(CRT\)

  • \(Lucas\) 定理

  • \(ExGCD\)

  • 億點點數學知識

給龍蝶打波廣告

Lucas 定理

\(C^m_n = C^{m\% mod}_{n\% mod} \times C^{\frac{m}{mod}}_{\frac{n}{mod}}\)

適用條件

  • 給出的資料範圍較大（無法用線性求出）

  • 模數很爛的時候（會使階乘中出現 \(0\)）

  • \(mod\) 必須為質數

證明

被某人強迫打的廣告

模板

某谷P3807

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define int long long
#define DEBUG puts ("emmmm");

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read () {
	register int x = 0, w = 1;
	char ch = getchar(); 
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

int T, n, m, mod;
int jc[maxn];

inline void Init () {
	jc[1] = 1;
	for (register int i = 2; i <= n + m; i ++) {
		jc[i] = jc[i - 1] * i % mod;
	}	
}

inline int qpow (register int a, register int b) {
	register int ans = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

inline int C (register int a, register int b) {
	if (a == 0 || b == 0 || a == b) return 1;
	if (a < b) return 0;
	return jc[a] * qpow (jc[a - b], mod - 2) % mod * qpow (jc[b], mod - 2) % mod;
}

inline int Lucas (register int a, register int b) {
	if (a == 0 || b == 0) return 1;
	return C (a % mod, b % mod) * Lucas (a / mod, b / mod) % mod;
}

signed main () {
	T = read();
	while (T --) {
		n = read(), m = read(), mod = read();
		Init ();
		printf ("%lld\n", Lucas (n + m, n));		
	}
	return 0;
}

擴充套件 Lucas

若題目中給出的 \(mod\) 不能保證是質數，當我們在求的時候，還是會出現 \(0\) 的情況，\(ExLuacs\) 就是來解決這種問題的。

STEP1

對於一個非質數 \(p\)，我們可以將其進行質因數分解，化成 \(\prod_ip_i^{k_i}\) 的形式。

我們就可以將原式子 \(C^m_n(mod \; p)\) 化成若干個同餘方程：

\(\left\{\begin{matrix} C^m_n \equiv b_1 (mod \; p_1^{k_1})\\ C^m_n \equiv b_2 (mod \; p_2^{k_2})\\ C^m_n \equiv b_3 (mod \; p_3^{k_3})\\ ......\\ C^m_n \equiv b_i (mod \; p_i^{k_i}) \end{matrix}\right.\)

這樣最後用 \(CRT\) 求出 \(C^m_n\) 即可。

STEP2

  • 現在問題變成了如何求每個 \(b_i\) 。

\(b_i = C^m_n (mod \; p_i ^ {k_i}) = \frac{n!}{m! \times (n - m)!} (mod \; p_i ^ {k_i})\)

但是我們會發現 \(p_i ^ {k_i}\) 仍不是質數， \(m!\) 和 \((n - m)!\) 的逆元仍求不出來。

所以我們將 \(n!\) 和 \(m!\) 和 \((n - m)!\) 中的所有質因子 \(p_i\) 都提出來，化成：

\(\frac{\frac{n!}{p_i^{k_1}}}{\frac{m!}{p_i^{k_2}} \times \frac{(n - m)!}{p_i^{k_3}}} \times p_i^{k_1-k_2-k_3}\)

這樣分母上的就可以求出逆元了。

STEP3

  • 現在問題變成了如何求每個 \(\frac{n!}{p_i^{k_1}}\)

舉個例子！！

例如 \(n=22,p=3,k=2\)

\(n!=22\times 21\times 20\times 19\times 18\times 17\times 16\times 15\times 14\times 13\times 12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1\)

\(=3^7\times(1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7) \times (1\times 2\times 4\times 5\times 7\times 8)\times (10\times 11\times 13\times 14\times 16\times 17)\times (19\times 20\times 22)\)

我們會發現這個式子由三部分組成：

  • \(3^7\) 為 \(p^{\frac{n!}{p}}\)

  • \(7!\) 可以繼續遞迴下去求解

  • 可以看出是在 \((mod \; 9)\) 意義下是一個迴圈節，長度為 \(\frac{n}{p_i^{k_i}}\)，類似 \(19\times 20\times 22\) 這樣剩下的直接暴力求即可。

但是我們會發現第一部分會被原式子的分母消掉，所以不用計算，對於剩下的包含質因子 \(p_i\) 的，直接不計算即可。

inline int Calc (register int n, register int p, register int pk) {
	if (n == 0) return 1;
	register int ans = 1;
	for (register int i = 1; i <= pk; i ++) { // 每個迴圈節
		if (i % p) ans = ans * i % pk;
	}
	ans = qpow (ans, n / pk, pk); // 計算所有的迴圈節
	for (register int i = 1; i <= n % pk; i ++) { // 乘下剩下的
		if (i % p) ans = ans * i % pk;
	}
	return ans * Calc (n / p, p, pk) % pk;
}

最後

現在我們已經將所有要用的東西都求出來了，最後直接倒著退回去即可。

程式碼

某谷P4720

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#define int long long
#define DEBUG puts ("emmmm")

const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

using namespace std;

inline int read () {
	register int x = 0, w = 1;
	char ch = getchar ();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

int n, m, p, tot;
int b[maxn], c[maxn], d[maxn];

inline int qpow (register int a, register int b, register int mod) {
	register int ans = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

inline int ExGCD (register int a, register int b, register int &x, register int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	register int d = ExGCD (b, a % b, x, y);
	register int tmp = x;
	x = y;
	y = tmp - (a / b) * y;
	return d;
}

inline int Inv (register int a, register int mod) { // 利用擴充套件歐幾里德求逆元
	register int x = 0, y = 0;
	ExGCD (a, mod, x, y);
	return (x % mod + mod) % mod;
}

inline int Calc (register int n, register int p, register int pk) {
	if (n == 0) return 1;
	register int ans = 1;
	for (register int i = 1; i <= pk; i ++) { // 每個迴圈節
		if (i % p) ans = ans * i % pk;
	}
	ans = qpow (ans, n / pk, pk); // 計算所有的迴圈節
	for (register int i = 1; i <= n % pk; i ++) { // 乘下剩下的
		if (i % p) ans = ans * i % pk;
	}
	return ans * Calc (n / p, p, pk) % pk;
}

inline int C (register int n, register int m, register int p, register int pk) {
	if (n == 0 || m == 0 || n == m) return 1;
	if (n < m) return 0;
	register int nn = Calc (n, p, pk), mm = Calc (m, p, pk), nm = Calc (n - m, p, pk), cnt = 0, k = n - m;
	while (n) n /= p, cnt += n;
	while (m) m /= p, cnt -= m;
	while (k) k /= p, cnt -= k;
	return nn * Inv (mm, pk) % pk * Inv (nm, pk) % pk * qpow (p, cnt, pk) % pk;
}

inline int CRT () { // 中國剩餘定理
	register int M = 1, ans = 0;
	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
		M *= c[i];
	}
	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
		d[i] = Inv (M / c[i], c[i]);
	}
	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
		ans += b[i] * (M / c[i])  * d[i];
	}
	return (ans % M + M) % M;
}

inline void ExLucas (register int n, register int m, register int p) {
	register int tmp = sqrt (p);
	for (register int i = 2; i <= tmp && p >= 1; i ++) { // 將p拆分質因數
		register int pk = 1;
		while (p % i == 0) p /= i, pk *= i;
		if (pk > 1) {
			b[++ tot] = C (n, m, i, pk), c[tot] = pk;
		}
	}
	if (p > 1) b[++ tot] = C (n, m, p, p), c[tot] = p;
	printf ("%lld\n", CRT ());		
}

signed main () {
	n = read(), m = read(), p = read();
	ExLucas (n, m, p);	
	return 0;
}

例題

[國家集訓隊]禮物

某谷P2183

思路很簡單，就是沒取一個 \(w[i]\)，總數就得減小，依次用 \(ExLucas\) 求組合數即可。

程式碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>


#define int long long
#define DEBUG puts ("emmmm")

const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

using namespace std;

inline int read () {
	register int x = 0, w = 1;
	char ch = getchar ();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar ()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar ()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

int n, m, p, totw, tot, ans = 1;
int w[maxn];
int b[maxn], c[maxn], d[maxn];

inline void Init () {
	memset (b, 0, sizeof b);
	memset (c, 0, sizeof c);
	memset (d, 0, sizeof d);
	tot = 0;
}

inline int qpow (register int a, register int b, register int mod) {
	register int ans = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

inline int ExGCD (register int a, register int b, register int &x, register int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	register int d = ExGCD (b, a % b, x, y);
	register int tmp = x;
	x = y;
	y = tmp - (a / b) * y;
	return d;
}

inline int Inv (register int a, register int mod) {
	register int x = 0, y = 0;
	ExGCD (a, mod, x, y);
	return (x % mod + mod) % mod;
}

inline int Calc (register int n, register int p, register int pk) {
	if (n == 0) return 1;
	register int ans = 1;
	for (register int i = 1; i <= pk; i ++) {
		if (i % p) ans = ans * i % pk;
	}
	ans = qpow (ans, n / pk, pk);
	for (register int i = 1; i <= n % pk; i ++) {
		if (i % p) ans = ans * i % pk;
	}
	return ans * Calc (n / p, p, pk) % pk;
}

inline int C (register int n, register int m, register int p, register int pk) {
	if (n == 0 || m == 0 || n == m) return 1;
	if (n < m) return 0;
	register int nn = Calc (n, p, pk), mm = Calc (m, p, pk), nm = Calc (n - m, p, pk), cnt = 0, k = n - m;
	while (n) n /= p, cnt += n;
	while (m) m /= p, cnt -= m;
	while (k) k /= p, cnt -= k;
	return nn * Inv (mm, pk) % pk * Inv (nm, pk) % pk * qpow (p, cnt, pk) % pk;
}

inline int CRT () {
	register int M = 1, ans = 0;
	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
		M *= c[i];
	}
	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
		d[i] = Inv (M / c[i], c[i]);
	}
	for (register int i = 1; i <= tot; i ++) {
		ans += b[i] * (M / c[i]) * d[i];
	}
	return (ans % M + M) % M;
}

inline int ExLucas (register int n, register int m, register int p) {
	Init ();
	register int tmp = sqrt (p);
	for (register int i = 2; i <= tmp && p > 1; i ++) {
		register int pk = 1;
		while (p % i == 0) p /= i, pk *= i;
		b[++ tot] = C (n, m, i, pk);
		c[tot] = pk;
	}	
	if (p > 1) {
		b[++ tot] = C (n, m, p, p);
		c[tot] = p;
	}
	return CRT ();
}

signed main () {
	p = read(), n = read(), m = read();
	for (register int i = 1; i <= m; i ++) {
		w[i] = read();
		totw += w[i];
	}
	if (totw > n) {
		puts ("Impossible");
	} else {
		register int sum = n;
		for (register int i = 1; i <= m; i ++) {
			ans = (ans * ExLucas (sum, w[i], p)) % p;
			sum -= w[i];
		}
		printf ("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}

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