中國剩餘定理（構造）

中國剩餘定理：

設 \(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 是兩兩互質的整數， \(M=\prod_{i=1}^nm_i,M_i=M/m_i,t_i\) 是線性同餘方程 \(M_it_i\equiv 1(\bmod m_i)\) 的解，對於任意 \(n\) 個整數 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 方程組

\[\begin{cases} x\equiv a_1\ (\bmod p)\\ x\equiv a_2\ (\bmod p)\\ 　　　\vdots\\ x\equiv a_n\ (\bmod p) \end{cases} \]

的解為 \(x=\sum_{i=1}^na_iM_it_i\)

\(\because M_i=M/m_i\)

\(\therefore M_i\) 是除 \(m_i\) 之外所有模數的倍數

\(\therefore \forall k!=i,a_iM_it_i\equiv0\ (\bmod m_k)\)

\(\because a_iM_it_i\equiv a_i\ (\bmod m_i)\)

\(\therefore x=\sum_{i=1}^na_iM_it_i\)​ 可使其成立

模板：

程式碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 12;
typedef long long LL;
LL a[maxn], m[maxn];

void exgcd(LL a1, LL b, LL& x, LL& y)
{
	if(b){
		exgcd(b, a1%b, y, x);
		y -= (a1/b)*x;
		return ;
	}
	x = 1;
	y = 0;
	return ;
}

LL CRT(LL a[], LL m[], int n)
{
	LL M=1, ans=0, Mi, x, y;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		M *= m[i];
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		Mi = M/m[i];
		exgcd(Mi, m[i], x, y); // 求出 Mi 在 模 mi意義下的乘法逆元 
		x = (x%m[i] + m[i]) % m[i]; 
		ans = (ans + a[i]*x*Mi) % M;
	}
	return (ans+M) % M; // 求出最小非負整數解 
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		scanf("%lld%lld", &m[i], &a[i]); // mi是模數， ai是是在模 mi 意義下的同餘數 
	LL ans = CRT(a, m, n);
	printf("%lld\n", ans);
}