美國地圖中的四色定理

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在伊恩·斯圖爾特教授編寫的書中，有一段關於用美國地圖分析四色定理的文字。書中沒有給出美國地圖，因此讀者可能會看得雲裡霧裡。在這裡，我配上美國地圖再討論一番，以饗讀者。

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這裡有一幅美國地圖（圖1），它由50個州構成各塊區域。顯然，如果每個州用一種顏色，那麼50種顏色一定能行，但是用的顏色可以更少。我們試著為各塊區域著色，看看最少需要幾種顏色。這裡需要明確一個技術細節：如果州與州之間僅僅交於一點，比如科羅拉多州和亞利桑那州，那麼只要你願意，它們是允許使用相同顏色的。因為，它們是沒有公共邊界線的。 【圖1】 50個州的美國地圖

以美國地圖為例，還可以說明一些簡單的通用原則。阿拉斯加州和夏威夷州實際上沒什麼用，因為它們和其它州完全分開：我們可以給它們隨便用什麼顏色。更重要的是，我們顯然需要至少3種顏色。因為猶他州、懷俄明州和科羅拉多州必須都使用不同的顏色，因為它們兩兩之間都有公共邊界線。 我們要為這3個州選取3種顏色。只要是不同的，無所謂是什麼顏色。因此如圖2所示，猶他州用黑色、懷俄明州用深灰色，科羅拉多州用中灰色。 【圖2】 為什麼至少需要3種顏色。

為了論證的需要，我們假設地圖的剩餘部分也只用這4種顏色。那麼，內布拉斯加州要用黑色的，因為它與深灰色和中灰色區域有公共邊界線。這將使得南達科他州必須得用中灰色。按照這個規則繼續下去，可以把蒙大拿州、愛達荷州、內華達州、俄勒岡州和加利福尼亞州都塗上顏色（圖3），這些新著色區域的顏色都只有唯一的可能： 【圖3】 如果只用3種顏色會無法繼續。

與亞利桑那州接壤的各州使用了中灰色、深灰色和黑色。因為到目前為止，所有顏色都是由相鄰各州的顏色決定的，所以整幅地圖無法只用3種顏色。因此，我們需要用到第4種顏色——也就是淺灰色——才能繼續下去（圖4）： 【圖4】 用第4種顏色救場。

除了阿拉斯加州和夏威夷州，還有38個州需要著色，我們也有可能在某處要用到第5種，甚至是第6種顏色……誰知道呢？然而，用四種顏色改變了整個遊戲。具體而言，之前分配的某些顏色是可以改變的（例如，懷俄明用淺灰色）。顏色的選擇不再是必須唯一確定的，因此整個問題變得更難分析。然而，只要合理猜測，並且遇到問題時調整顏色，我們是可以繼續下去的。這裡提供一種著色方案，它只有3個淺灰色州：亞利桑那州、西弗吉尼亞州和紐約州。雖然這裡有50個州，但我們仍然可以只用4種顏色為整幅地圖完成著色（圖5）。 【圖5】 不需要第5種顏色。

(這裡還有一個技術要點：密歇根州被密歇根湖隔開，變成兩塊不相連的州區域。雖然在這裡它們都用了深灰色，但是不相連的區域有時候會需要更多顏色。這點在完整的數學理論裡是需要考慮的，但是此處不太要緊。） 美國地圖不算特別複雜，我們可以想象那種有幾百萬塊區域、每塊區域又都歪歪扭扭、而且到處有許多突起的地圖。可能它們會需要更多種顏色。然而，考慮過那些可能性的數學家們形成了一種堅定的信念，那就是不管地圖有多複雜，絕對不會需要多於4種顏色。無論地圖是畫在平面上還是球面上，只要是連著的區域，4種顏色就夠了。