UA MATH563 概率論的數學基礎 鞅論初步9 分支過程簡介

一個不願透露姓名的孩子發表於2020-12-08
H5

UA MATH563 概率論的數學基礎 鞅論初步9 分支過程簡介

例 Branching Process
假設 ξ i j \xi_{ij} ξij​是互相獨立的取值為自然數的隨機變數， P ( ξ i j = k ) = p k , ∀ k ≥ 0 P(\xi_{ij}=k)=p_k,\forall k \ge 0 P(ξij​=k)=pk​,∀k≥0，記 m = ∑ k ≥ 0 k p k m = \sum_{k \ge 0}kp_k m=∑k≥0​kpk​，定義 X n = ∑ i = 1 X n − 1 ξ i n ,    X 0 = a X_n = \sum_{i=1}^{X_{n-1}}\xi_{in},\ \ X_0=a Xn​=i=1∑Xn−1​​ξin​,  X0​=a

在這個設定中，我們可以把 ξ i j \xi_{ij} ξij​的下標 i i i理解為第 i i i戶， j j j理解為第 j j j代， ξ i j \xi_{ij} ξij​表示第 i i i戶、第 j j j代有幾個娃，則 X n X_n Xn​的含義可以是某家族第 n n n代的總人口數， m m m表示平均每一代每一戶有幾個娃。

問題1：第 n n n代平均有多少人？
E [ X n ] = E [ ∑ i = 1 X n − 1 ξ i n ] = E [ E [ ∑ i = 1 X n − 1 ξ i n ∣ X n − 1 ] ] = E [ m X n − 1 ] E[X_n]=E \left[ \sum_{i=1}^{X_{n-1}}\xi_{in} \right] = E \left[ E\left[ \sum_{i=1}^{X_{n-1}}\xi_{in} | X_{n-1} \right]\right] = E[ mX_{n-1}] E[Xn​]=E[i=1∑Xn−1​​ξin​]=E[E[i=1∑Xn−1​​ξin​∣Xn−1​]]=E[mXn−1​]

於是我們有了一個遞推式：
E [ X n ] = m E [ X n − 1 ] E[X_n]=mE[X_{n-1}] E[Xn​]=mE[Xn−1​]

所以
E [ X n ] = a m n E[X_n]=am^n E[Xn​]=amn

這個結果能給我們下面幾條啟發：

  1. 在這個模型下，如果 m < 1 m<1 m<1，這個家族第 n n n代期望人口歸零，當 n n n足夠大的時候；
  2. 如果 m > 1 m>1 m>1，這個家族期望人口將指數增長；
  3. 如果 m = 1 m=1 m=1，這個家族期望人口保持不變

問題2： X n X_n Xn​是鞅嗎？
定義 Z n = X n / m n Z_n=X_n/m^n Zn​=Xn​/mn， F n = σ { ξ i j : j ≤ n } \mathcal{F}_n=\sigma\{\xi_{ij}:j \le n\} Fn​=σ{ξij​:j≤n}，則 ( Z n , F n ) (Z_n,\mathcal{F}_n) (Zn​,Fn​)是一個鞅，因為
E [ Z n + 1 ∣ F n ] = E [ ∑ i = 1 X n ξ i , n + 1 / m n ∣ F n ] = m X n m n + 1 = Z n E[Z_{n+1}|\mathcal{F}_n] = E \left[ \sum_{i=1}^{X_n}\xi_{i,n+1} /m^n|\mathcal{F}_n\right] = \frac{mX_n}{m^{n+1}} = Z_n E[Zn+1​∣Fn​]=E[i=1∑Xn​​ξi,n+1​/mn∣Fn​]=mn+1mXn​​=Zn​

根據鞅收斂定理， ∃ W ≥ 0 , a . s . \exists W \ge 0 ,a.s. ∃W≥0,a.s.， W W W可積，並且
Z n → W Z_n \to W Zn​→W

問題3：論述 m < 1 m<1 m<1時這個家族消亡的概率為1
根據Markov不等式，
P ( X n ≥ 1 ) ≤ E X n = a m n P(X_n \ge 1) \le EX_n = am^n P(Xn​≥1)≤EXn​=amn

因此，根據Borel-Cantelli引理，
P ( X n ≥ 1   i . o . ) = 0 ⇔ P ( X n = 0   e . v . ) = 1 P(X_n \ge 1\ i.o.)=0 \\ \Leftrightarrow P(X_n =0 \ e.v.)=1 P(Xn​≥1 i.o.)=0⇔P(Xn​=0 e.v.)=1

問題4： m ≥ 1 m\ge 1 m≥1時這個家族會消亡嗎？

在問題1中，我們計算了 E [ X n ] E[X_n] E[Xn​]，
E [ X n ] = a m n E[X_n]=am^n E[Xn​]=amn

在問題2中，我們定義了 Z n = X n / m n Z_n=X_n/m^n Zn​=Xn​/mn，並論述了它是一個鞅， E [ Z n ] = 1 E[Z_n]=1 E[Zn​]=1，以及 Z n → W , a . s . Z_n \to W,a.s. Zn​→W,a.s.；在問題3中，我們論述了 m < 1 m<1 m<1時這個家族依概率1消亡。

下面考慮 m > 1 m>1 m>1，計算概率母函式，
ϕ ( x ) = ∑ k ≥ 0 x k p k , x ∈ [ 0 , 1 ] \phi(x)=\sum_{k \ge 0}x^kp_k,x \in [0,1] ϕ(x)=k≥0∑​xkpk​,x∈[0,1]

Claim: ρ \rho ρ表示這個家族消亡的概率，
ρ = P ( X n = 0 , e . v . ) \rho = P(X_n=0,e.v.) ρ=P(Xn​=0,e.v.)

則 ϕ ( ρ ) = ρ \phi(\rho)=\rho ϕ(ρ)=ρ。

證明：
ρ = P ( X n = 0 , e . v . ) = ∑ k ≥ 0 P ( X n = 0 , e . v . ∣ X 1 = k ) p k = ∑ k ≥ 0 ρ k p k = ϕ ( ρ ) \rho=P(X_n = 0,e.v.) = \sum_{k \ge 0}P(X_n = 0,e.v.|X_1=k)p_k \\ = \sum_{k \ge 0}\rho^kp_k = \phi(\rho) ρ=P(Xn​=0,e.v.)=k≥0∑​P(Xn​=0,e.v.∣X1​=k)pk​=k≥0∑​ρkpk​=ϕ(ρ)

這個結論說明 ρ \rho ρ是概率母函式的不動點，事實上更準確的說法是第一個不動點，如果 ϕ \phi ϕ是遞增的凸函式，用不動點迭代的思路論述：

取 α 0 = 0 ≤ ρ \alpha_0 = 0 \le \rho α0​=0≤ρ，則
α 1 = ϕ ( α 0 ) = ϕ ( 0 ) ≤ ϕ ( ρ ) = ρ α 2 = ϕ ( α 1 ) = P ( X 2 = 0 ) ≤ ρ ⋯ α n = P ( X n = 0 ) ≤ ρ \alpha_1 = \phi(\alpha_0) = \phi(0) \le \phi(\rho) = \rho \\ \alpha_2 = \phi(\alpha_1) = P(X_2=0) \le \rho \\ \cdots \\ \alpha_n = P(X_n=0) \le \rho α1​=ϕ(α0​)=ϕ(0)≤ϕ(ρ)=ρα2​=ϕ(α1​)=P(X2​=0)≤ρ⋯αn​=P(Xn​=0)≤ρ

關於 { X n = 0 } \{X_n=0\} {Xn​=0}，根據測度的連續性，
P ( X n = 0 ) → P ( ∪ n { X n = 0 } ) = P ( X n = 0 , e . v . ) ⇒ ρ = lim ⁡ n → ∞ α n P(X_n = 0) \to P(\cup_n \{X_n=0\})=P(X_n=0,e.v.) \\ \Rightarrow \rho = \lim_{n \to \infty}\alpha_n P(Xn​=0)→P(∪n​{Xn​=0})=P(Xn​=0,e.v.)⇒ρ=n→∞lim​αn​

接下來我們討論 m = 1 m=1 m=1的情況。考慮
P ( X n + 1 = k , X n = k ) = P ( X n + 1 = k ∣ X n = k ) P ( X n = k ) = P ( ∑ i = 1 k ξ i , n + 1 = k ) P ( X n = k ) P(X_{n+1}=k,X_n = k) = P(X_{n+1}=k|X_n = k)P(X_n=k) \\ =P(\sum_{i=1}^k\xi_{i,n+1}=k)P(X_n=k) P(Xn+1​=k,Xn​=k)=P(Xn+1​=k∣Xn​=k)P(Xn​=k)=P(i=1∑k​ξi,n+1​=k)P(Xn​=k)

注意到 P ( ∑ i = 1 k ξ i , n + 1 = k ) < 1 P(\sum_{i=1}^k\xi_{i,n+1}=k)<1 P(∑i=1k​ξi,n+1​=k)<1，因此
P ( X n + l = k , l = 0 , ⋯   , r ) = [ P ( ∑ i = 1 k ξ i , n + 1 = k ) ] r − 1 P ( X n = k ) → 0 , a s   r → ∞ P(X_{n+l}=k,l=0,\cdots,r) = [P(\sum_{i=1}^k\xi_{i,n+1}=k)]^{r-1}P(X_n=k) \\ \to 0,as\ r \to \infty P(Xn+l​=k,l=0,⋯,r)=[P(i=1∑k​ξi,n+1​=k)]r−1P(Xn​=k)→0,as r→∞

也就是說
P ( X n = k , e . v . ) = ∑ n ≥ 0 P ( X n + l = k , l ≥ 0 ) = 0 ⇒ X n → 0   a . s . P(X_n = k,e.v.) = \sum_{n \ge 0}P(X_{n+l}=k,l \ge 0)=0 \\ \Rightarrow X_n \to 0 \ a.s. P(Xn​=k,e.v.)=n≥0∑​P(Xn+l​=k,l≥0)=0⇒Xn​→0 a.s.

相關文章