UA MATH563 概率論的數學基礎 中心極限定理4 獨立一元隨機變數的性質

上一講我們建立了判斷一元隨機變數獨立性的方法，這一講我們來推導一些關於一元隨機變數獨立性的性質。

性質1 $\forall 1\le i\le n,1\le j\le m_i$， { X i , j } \{X_{i,j}\} {Xi,j​}是一列獨立的隨機變數，假設$f_i:{\mathbb{R}}^{m_i}\to \mathbb{R}$是可測函式，則 { f i ( X i , 1 , ⋯   , X i , m i ) } \{f_i(X_{i,1},\cdots,X_{i,m_i})\} {fi​(Xi,1​,⋯,Xi,mi​​)}也是一列獨立的隨機變數。

說明 簡單地說，這個性質表達的是獨立隨機變數的函式也是互相獨立的。這裡給出證明的思路。

引理 假設${\mathcal{F}}_{i,j}$，$1\le i\le n,1\le j\le m_i$，是獨立的集族，定義${\mathcal{G}}_i=\sigma ({\cup }_j{\mathcal{F}}_{i,j})$，則${\mathcal{G}}_1,\cdots ,{\mathcal{G}}_i$是獨立的。

構造 A i = { ∩ j A i , j : A i , j ∈ F i , j } \mathcal{A}_i=\{\cap_j A_{i,j}:A_{i,j} \in \mathcal{F}_{i,j}\} Ai​={∩j​Ai,j​:Ai,j​∈Fi,j​}，不難驗證${\mathcal{A}}_i$是一個$\pi$-類，並且$\Omega ,{\cup }_j{\mathcal{F}}_{i,j}\in {\mathcal{A}}_i$，根據$\sigma$-代數獨立性的定理：(定理 假設${\mathcal{A}}_i,1\le i\le n$是一列獨立的$\pi$-類，則$\sigma (A_i),1\le i\le n$獨立。)，${\mathcal{G}}_i=\sigma ({\mathcal{A}}_i)$獨立。

根據這個引理我們討論性質1，記${\mathcal{F}}_{i,j}=\sigma (X_{i,j})$，${\mathcal{G}}_i=\sigma ({\cup }_j{\mathcal{F}}_{i,j})$，則
$$f_i(X_{i,1},\cdots ,X_{i,m_i})\in {\mathcal{G}}_i$$

根據引理， { f i ( X i , 1 , ⋯   , X i , m i ) } \{f_i(X_{i,1},\cdots,X_{i,m_i})\} {fi​(Xi,1​,⋯,Xi,mi​​)}也是一列獨立的隨機變數。

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性質2 假設 { X i } i = 1 n \{X_i\}_{i=1}^n {Xi​}i=1n​是一列獨立的隨機變數，$X_i$的分佈為${\mu }_i$，則$(X_1,\cdots ,X_n)$的聯合分佈為${\mu }_1\times \cdots \times {\mu }_n$

說明 先解釋一下${\mu }_i$的含義，對於$A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
$${\mu }_i(A)=P(X_i\in A)$$

聯合分佈指的是
$${\mu }_1\times \cdots \times {\mu }_n(A_1\times \cdots \times A_n)=\prod _{i=1}^n{\mu }_i(A_i)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i\in A)$$

因為
$$\begin{gathered} P((X_1,\cdots ,X_n)\in (A_1\times \cdots \times A_n)) \\ =P(X_1\in A_1,\cdots ,X_n\in A_n) \end{gathered}$$

根據獨立性，
$$P(X_1\in A_1,\cdots ,X_n\in A_n)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i\in A)$$

再根據分佈的定義，就可以得到性質2了。

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性質3 (Fubini-Tonelli定理的期望形式)
假設$X,Y$的分佈為$\mu ,\nu$，並且$X,Y$互相獨立，如果$h$是可測函式，$h$非負或者可積，則
$$Eh(X,Y)=\iint h(x,y)\mu (dx)\nu (dy)$$

一個特殊情況是如果$h(x,y)=f(x)g(y)$，$f,g$非負或者$f,g$可積，則
$$Ef(X)g(Y)=Ef(X)Eg(Y)$$