衝激串取樣

在一定條件下，一個連續時間訊號完全可以用該訊號在等時間間隔點上的值或樣本來表示，並且可以用這些樣本值把該訊號全部恢復出來。

一般來講，在沒有任何附加條件或說明下，我們不能指望一個訊號都能唯一地由一組等間隔的樣本值來表徵。例如，下圖中三個不同的連續時間訊號，在 $T$ 的整數倍時刻點上，全部有相同的值，即

$x_1(kT) = x_2 (kT) = x_3(kT)$

很明顯，有無限多個訊號都可以產生一組給定的樣本值。然而，將會看到，如果一個訊號是帶限的（即它的傅立葉變換在某一有限頻帶範圍以外均為零），並且它的樣本取得足夠密的話（相對於訊號中的最高頻率而言），那麼這些樣本就能唯一地用來表徵這一訊號，並且能從這些樣本中把訊號完全恢復出來。

為了建立取樣定理，我們需要一種方便的方式來表示一個連續時間訊號在均勻間隔上的取樣。一種有用的辦法是通過用一個週期衝激串去乘待取樣的的連續時間訊號 $x(t)$，這一方法稱為衝激串取樣，該週期衝激串 $p(t)$ 稱作取樣函式，週期 $T$ 稱為取樣週期，而 $p(t)$ 的基波頻率 $\omega_s = 2\pi / T$ 稱為取樣頻率。

在時域中有

$\tag{1} x_p(t) = x(t)p(t)$

其中

$\tag{2} p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT)$

是一個衝激串，其衝激的幅度等於 在以 為間隔處的樣本值，即

$\tag{3} x_p(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT)\delta(t-nT)$

由傅立葉變換的相乘性質知道

$\tag{4} X_p(j\omega) = \frac{1}{2\pi}[X(j\omega) * P(j\omega)]$

並且有

$\tag{5} P(j\omega) = \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - k\omega_s)$

因為訊號與一個單位衝激函式的卷積就是該訊號的移位，於是有

$\tag{6} X_p(j\omega) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(j(\omega-k\omega_s))$

這就是說，$X_p(j\omega)$ 是頻率 $\omega$ 的周期函式，它由一組移位的 $X(j\omega)$ 疊加所組成，但在幅度上標以 $1/T$ 的變化。

當 $ \omega_M < \omega_s- \omega_M $ 或者 $ \omega_s > 2\omega_M $ 時，互相移位的這些 $X(j\omega)$ 之間，並無重疊現象出現；反之，則會出現重疊現象。

取樣定理

設 $x(t)$ 是某一帶限訊號，在 $|\omega|&gt;\omega_M$ 時，$X(j\omega)=0$。如果 $\omega_s&gt;2\omega_M$，其中 $\omega_s = 2\pi/T$，那麼$x(t)$就唯一地由其樣本$x(nT), n = 0, \pm1, \pm2, \cdot \cdot\cdot$所確定。

已知這些樣本值，我們能用如下辦法重建 $x(t)$：產生一個週期衝激串，其衝激幅度就是這些依次而來的樣本值，然後將該衝激串通過一個增益為 $T$，截至頻率大於 $\omega_M$，而小於$(\omega_s-\omega_M)$的理想低通濾波器，該濾波器的輸出就是 $x(t)$。

在取樣定理中，取樣頻率必須大於 $2\omega_M$，該頻率一般稱為奈奎斯特頻率。

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