隨便記點。
定義
第二類 Stirling Number。
latex：$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}$ 或 n\brace m，大小渲染可能有差別。
我們定義 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\) 表示將 \(n\) 個不同的球放進 \(m\) 個相同非空盒子的方案數。
求法
考慮類似 DP 地求出 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\)。
\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m\cdot\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}
\]
即，分類第 \(n\) 個球單獨放新盒子 / 放一個之前有的盒子。
邊界條件 \(\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}=[n=0]\)。這很類似組合數，不是麼？
有通項。還沒看。
第二類斯特林數最佳化 K 次方冪和問題
給出關鍵公式
\[n^k=\sum\limits_{i=0}^k{k\brace i}\binom nii!=\sum_{i=0}^{n}\left\{\begin{array}{c}n \\i\end{array}\right\} \cdot n^{\underline{i}}
\]
利用組合意義簡單證明：
- LHS：將 \(k\) 個球放入 \(n\) 個不同可空盒子的方案數。
- RHS：先欽定有值的 \(i\) 個盒子，再有值地往裡面放 \(k\) 個球。
顯然兩者相同。
關於為啥記這個東西：24.12.9 模擬賽 T1。其實有純容斥做法的（orz yinhee），不過看到題解是斯特林數就順便看了看（