【行列式】- 圖解線性代數 04

《程式設計師的數學: 線性代數》是讓我動手製作這個系列的主要原因, 也推薦大家閱讀此書.

這次我們主要做一個回顧, 再進一步將行列式的幾何意義用動畫展示說明. 我們說矩陣 A 可以視為一種線性變換, 所以

上面的式子意味著求一個向量 x 線上性變換 A 後的位置與向量 v 重合. 現在看個例子, 整個空間在矩陣 A 的作用下是怎樣的變化過程:

• 原來向量(1, 0.5)在經過變換後是(2, 1.5);
• 水平方向變成了原來的 2 倍; 縱向變成了原來的 3 倍;
• 原來的直線變換後依然還是直線, 平行的依然保持平行;
• 原點沒有改變(如果沒有原點, 則為仿射空間)

並且注意紅色的方塊面積擴大了 6 倍, 這樣的面積(或體積)增大倍率就是行列式(Determinant)的幾何意義, 記作: det(A) 或者 |A|

再看另一個作用矩陣線性變換的動畫:

觀察看到:

• 空間發生了傾斜, 但沒有扭曲;
• 直線依然還是直線, 平行的依然保持平行;
• A 的第一列(1.5, -1)的落腳點為(1, 0) - 像, 第二列(-0.5, 2)的落腳點為(0, 1);
• 單位紅色小方塊擴大為 2.5 倍, 也就是 det(A) = 2.5

再來看這個線性變換的例子, 注意矩陣 A 中兩個列向量是成比例的 - 線性相關:

觀察得到:

• 空間被壓縮成一條線;
• 向量(1, 0.5) 在整個變換過程中完全沒有發生改變(這跟特徵值與特徵向量有關, 我們後文書再說);
• 面積增大倍率為 0, 也就是 det(A)=0; 這跟上一節中矩陣對角線含有 0 元素情況類似, 在這種情況下意味著不存在逆矩陣, 不過也是以後要介紹的內容了.

行列式的幾何意義表示面積(體積)的增大倍率, 如在經過映象翻轉後就為負值, 上一節我們看到三維矩陣的情況, 現在看一看二維中經過映象翻轉後行列式的變化, 請注意最下變換過程中 det(A) 值從正數到負數的變化過程:

上面就是本次圖解線性代數所回顧的知識點. 好了, 現在讓我們在下一篇的中再見!

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