常微分方程選題

常微分方程

一、基本概念

1. 常微分方程
2. \(n\) 階線性微分方程
3. 齊次方程
4. 常數變易法
5. Bernoulli 方程：\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P(x)y+Q(x)y^n, \ n\neq0,1, \ P(x),Q(x)\) 在 \((a,b)\) 上連續.
6. Riccati 方程：\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P(x)y^2+Q(x)y+f(x)\).
7. 全微分方程
8. 積分因子
9. Picard 存在唯一性定理
   1. 將初值問題化為積分方程, 寫出 Picard 逐步逼近序列
   2. 證明函式序列有定義且連續
   3. 證明函式序列一致收斂（數學歸納法）
   4. 證明函式序列的極限函式就是初值問題的連續解
   5. 證明解的唯一性
10. Banach 壓縮映象定理：完備的距離空間中的壓縮對映在空間中必存在唯一的不動點.
    1. 完備的距離空間：空間中的任意 Cauchy 點列必收斂於空間中的一點.
    2. 壓縮對映：\(\rho(Tx,Ty)\le\theta\rho(x,y), \ \theta\in[0,1]\).
11. 解的延拓定理：連續+滿足區域性 Lipschitz 條件
12. Gronwall 不等式
13. 解關於方程右端函式、初值和引數的連續性
14. Wronski 行列式
15. \(n\) 階齊次線性方程的 \(n\) 個解線性無關當且僅當它們的 Wronski 行列式不為零.
16. Liouville 公式
17. Euler 方程：\(x^n\frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}+a_1x^{n-1}\frac{\mathrm d^{n-1}y}{\mathrm dx^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+a_ny=0\). 可化為常係數齊次線性方程.
18. 一階線性微分方程組
19. 基解矩陣

二、計算題

1. \((x-y-1)\mathrm dx+(4y+x-1)\mathrm dy=0\).
   解：可化為齊次的方程

2. \((y+xy^2)\mathrm dx+(x-x^2y)\mathrm dy=0\).
   解：變數替換法. 將方程化為 \(y(1+xy)\mathrm dx+x(1-xy)\mathrm dy=0\), 令 \(z=xy\). 也可湊微分.

3. \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{1}{x\sin ^2xy}-\frac yx\).
   解：變數替換法. 令 \(xy=u\).

4. \(x^2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x^2y^2+xy+1\).
   解：容易化為 Riccati 方程和看出它的一個特解, 化為 Bernoulli 方程, 再化為一階線性方程.

5. \(y'+y^2-2y\sin x=\cos x-\sin^2x\).
   解：這是 Riccati 方程, 容易看出它的一個特解 \(y=\sin x\).

6. \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=(x+1)^2+(4y+1)^2+8xy+1\).
   解：令 \(X=x+1,Y=4y+1\).

7. \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{2x^3+3xy^2+x}{3x^2y+2y^3-y}\).
   解：令 \(u=x^2,v=y^2\).

8. \((2x^2y^2+y)\mathrm dx+(x^3y-x)\mathrm dy=0\).
   解：可用待定指數法, 設積分因子為 \(\mu=x^{\alpha}y^{\beta}\).

9. \((y')^3-4yy'=0\).
   解：\(y'(y'-2\sqrt y)(y'+2\sqrt y)=0\).

10. \(y^2(1+y'^2)=1\).
    解：令 \(y'=p\), 再寫出方程的引數式.

11. \(y'^2=4y^3(1-y)\).
    解：分離變數.

12. \(y'^3+y^3-3yy'=0\).
    解：令 \(y'=p, \ y=pt\).

13. \(y'^3+y'^2-y'+1=0\).
    解：顯然關於 \(y'\) 的多項式必有根.

14. \(x''=1+x'^2\).
    解：令 \(x'=y\).

15. \(\frac{\mathrm d^4x}{\mathrm dt^4}+2\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+x=0\).
    解：常係數齊次線性方程.

16. \(x^3\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}+x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-4x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=0\).
    解：Euler 方程. 令 \(x=e^t\), 記 \(D=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\). 則 \(D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=D^3y-2D^2y-3Dy=0\).

17. \(x^2y''+2x^2\tan y\cdot y'+xy'-\sin y\cos y=0\).
    解：作變換 \(u=\tan y\), 化為 Euler 方程.

18. \(\frac{\mathrm d^3x}{\mathrm dt^3}-7\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+16\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}-12x=-20t^3e^{2t}\).
    解：常係數非齊次線性方程.

19. \(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+x=\sin t-\cos 2t\).
    解：疊加原理.

20. \(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+x=\frac{1}{\sin^3t}\).
    解：常數變易法.

21. \(\begin{cases}x'+y'=y+z\\y'+z'=z+x\\z'+x'=x+y\end{cases}\).
    解：化為常係數齊次線性方程組.

22. 分別用空間分解法和待定係數法求解 \(X'=\pmatrix{3&4&-10\\2&1&-2\\2&2&-5}X\).
    解：常係數齊次線性方程組.

23. \(X'=\pmatrix{-1&2\\-2&3}X+\binom{1}{0}\).
    解：常係數非齊次線性方程組.

24. 討論方程組 \(\begin{cases}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=ax+by\\\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=cy\end{cases}\) 的奇點型別, 其中 \(a,b,c\) 為常數且 \(ac\neq0\).

25. 求 Bernoulli 方程的積分因子和通解.
    解：將 Bernoulli 方程化為一階線性微分方程.

26. 求 \(\begin{cases}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x+y^2\\y(0)=1\end{cases}, \ R: \ |x|\le\frac12, \ |y-1|\le 1\) 的第二次近似解, 並給出誤差估計.
    解：公式

    \[\varphi_0(x)=y_0,\quad \varphi_n(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt, \ n>0\\ |\varphi_n(x)-\varphi(x)|\le\frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1} \]

27. 將初值問題

    \[\begin{cases} \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}-5y+3\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+2y \end{cases}, \quad x(0)=0, \ x'(0)=0, \ y(0)=1. \]

    化為一階線性微分方程組, 並求其通解.

28. 用逐步逼近法求方程組 \(X'(t)=\pmatrix{1&0\\-1&1}X(t)+\binom01, \ X(t)=\binom{x_1(t)}{x_2(t)}\) 滿足初始條件 \(X(0)=\binom00\) 的第一次、第二次近似解.
    解：由 Picard 逼近序列

    \[\varphi_0(t)=X(t_0),\quad \varphi_n(t)=X(t_0)\int_{t_0}^t[A(s)X(s)+F(s)]\mathrm ds. \]

29. 設 \(f(x)\) 滿足 \(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\), \(f'(0)\) 存在, 求 \(f(x)\) 表示式.
    解：導數的定義.

30. 求 \(y(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\) 滿足的微分方程, 並求 \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n)!}\).

31. 求一曲線, 使得曲線上任一點 \(P\) 的切線方向 \(\overrightarrow{PQ}\) 與向徑 \(\overrightarrow{OP}\) 的交角等於 \(45^{\circ}\).
    解：畫圖

32. 對方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y^2\) 在區域 \(G=\{(x,y)||x|<4,|y|<2\}\) 內, 討論過點 \((0,0),(1,1)\) 以及 \((3,-1)\) 的解的飽和區間.
    解：顯然滿足延拓定理, 畫圖較為方便.

33. 已知 \(x_1(t)=t\) 是方程 \(x''+\frac{t}{1+t^2}x'-\frac{x}{1+t^2}=0\) 的解, 求其通解.
    解：用 Liouville 公式

34. 已知 \(x_1(t)=t,x_2(t)=\frac{t^2+t+1}{t+1}\) 是方程 \((t^2-1)x''+4tx'+2x=6t\) 的兩個解, 求其通解.
    解：用 Liouville 公式

二、證明題

1. 若 \(y=y^*(x)\) 是一階齊次線性方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y\) 的非零解, 而 \(y=\bar y\) 是一階非齊次線性方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y+q(x)\) 的解. 證明: 一階非齊次線性方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y+q(x)\) 的通解為 \(y=cy^*(x)+\bar y(x)\), 其中 \(c\) 為任意常數.
   證：令 \(y=z+\bar y\).

2. 證明初值問題 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x^2+e^{-y^2}, \ y(0)=0\) 的解 \(y=\varphi(x)\) 在 \([0,\frac12]\) 上存在, 且當 \(x\in[0,\frac12]\) 時, \(|\varphi(x)\le1\).
   證：寫出 Picard 逐步逼近序列, 利用誤差估計式放縮.

3. 設 \(f(x,y)\) 在整個平面上連續有界, 且 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 也連續, 試證方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y)\) 的每一個解的飽和區間都是 \((-\infty,+\infty)\).
   證：考慮任一點 \((x_0,y_0)\) 的解, 可以作兩條斜率分別為 \(M\) 和 \(-M\) 的直線, 於是 \(y\) 必在這兩條直線之間.

4. 設 \(f(x,y)\) 和 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 在 \(\alpha<x<\beta, \ -\infty<y<+\infty\) 內連續, 且對於 \(\forall[a,b]\subset(\alpha,\beta), \ \exists N>0, \ s.t.\)

   \[\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le N, \quad a\le x\le b, \ -\infty<y<+\infty \]

   試證 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y)\) 的每一個解的飽和區間為 \((\alpha,\beta)\).
   證：考慮區間 \([\alpha+\varepsilon,\beta-\varepsilon]\).

5. 設 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=(y^2-a^2)f(x,y)\), 其中 \(f(x,y),f'_y(x,y)\) 在 \(xOy\) 面上連續. 試證明: 對 \(\forall x_0, \ |y_0|<a\), 滿足初始條件 \(y(x_0)=y_0\) 的解 \(y(x)\) 都在區間 \((-\infty,+\infty)\) 上存在.
   證：顯然滿足解的存在唯一定理和延拓定理.

6. 設 \(u(x)\) 是區間 \(x_0\le x\le x_1\) 上的連續函式, 且當 \(x_0\le x\le x_1\) 時, 成立不等式 \(u(x)\le\int_{x_0}^x\left(\alpha u(t)+\beta\right)\mathrm dt\). 其中, \(\alpha,\beta>0\) 是常數, 那麼成立不等式 \(u(x)\le\frac{\beta}{\alpha}\left(e^{\alpha(x-t)}-1\right)\).
   證：利用 Gronwall 不等式.

7. 證明解關於方程右端函式的連續性定理.
   證：利用有限覆蓋定理.

8. 證明 \(n\) 階齊次線性方程 \(L[x]=0\) 一定存在 \(n\) 個線性無關的解; \(n\) 階非齊次線性方程 \(L[x]=f(t)\) 最多存在 \(n+1\) 個線性無關解.

9. 設 \(x=x_1(t), \ x=x_2(t)\) 是微分方程 \(x''+x=0\) 的滿足初始條件

   \[x_1(0)=0,\quad x_1'(0)=1,\\ x_2(0)=1,\quad x_2'(0)=0 \]

   的解, 試不具體求出 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) 而直接證明

     (1) \(x_1'(t)=x_2(t),\quad x_2'(t)=-x_1(t)\);

     (2) \(x_1^2(t)+x_2^2(t)\equiv1\).

10. 證明 Liouville 公式: 設 \(X_1(t),\cdots,X_n(t)\) 是齊次線性方程組 \(X'(t)=A(t)X(t)\) 的任意 \(n\) 個解, 則它們的 Wronski 行列式 \(W(t)\) 滿足一階線性微分方程

    \[W'(t)=[a_{11}(t)+a_{22}(t)+\cdots+a_{nn}(t)]W(t) \]

    因而有

    \[W(t)=W(t_0)\cdot e^{\int_{t_0}^t[a_{11}(s)+\cdots+a_{nn}(s)]\mathrm ds}, \ t,t_0\in[a,b]. \]

11. 設在方程 \(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+3\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+2x=f(t)\) 中, \(f(t)\) 在 \([a,+\infty)\) 上連續, 且 \(\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=0\), 試證明: 對方程的任意解 \(x(t)\), 均有 \(\lim\limits_{t\to+\infty}x(t)=0\).

12. 設 \(A\) 為 \(n\) 階常數方陣, \(\Phi(t)\) 是方程組 \(X'=AX\) 的標準基解矩陣, 證明 \(\Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)=\Phi(t-t_0)\), 其中 \(t_0\) 為某一值.

13. 若 \(\Phi(t),\Psi(t)\) 是齊次線性方程組 \(X'(t)=A(t)X(t)\) 在區間 \([a,b]\) 上的兩個基解矩陣, 則存在一個非奇異常數 \(n\times n\) 矩陣 \(C\), 使在 \([a,b]\) 上有 \(\Psi(t)=\Phi(t)C\).

14. 設 \(m\) 不是 \(A\) 的特徵根, 試證明非齊次線性方程組 \(X'=AX+ce^{mt}\) 有一解形如 \(\varphi(t)=pe^{mt}\), 其中 \(c,p\) 是常數列向量.