數學趣題：丟番圖方程（二）

昨天晚上看到《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第2版）》第7章“數論”7.4節“丟番圖方程”的如下習題：

今天早上 7:15 從家裡出發，步行去上班，7:50 到達單位（其間還在單位食堂吃了早餐）。路上反正沒事做，閒著也是閒著，就思考這道題，進行心算。以下是解題過程：

1. 首先思考兩變數的情況，即： 。
2. 因為 是無理數， a = b 是不可能的。
3. 心算化簡：
   • (a + 1)(b + 1) = 2ab
   • a + b + 1 = ab
   • a + 1= (a - 1)b
   • b = (a + 1) / (a - 1)
4. 很顯然，(a, b) = (2, 3) 是一組解。
5. 既然兩變數的情況有解，三變數的原題也可能有解。
6. 先固定 c = 2，得到 。
7. 再試試 c = 3，得到 。
8. 繼續試 c = 4，得到 。
9. 嗯，還是 c = 3 的情況最簡單。
10. 類似地心算化簡：
    • 2(a + 1)(b + 1) = 3ab
    • 2a + 2b + 2 = ab
    • 2a + 2= (a - 2)b
    • b = 2(a + 1) / (a - 2)
11. 顯然，原方程有以下解：
    • (a,b,c) = (3,8,3)
    • (a,b,c) = (4,5,3)
    • (a,b,c) = (5,4,3)
    • (a,b,c) = (8,3,3)

此時，我到達單位了。停止思考，寫了下這篇文章。

在單位，繼續，這次用筆算 c = 2 的情況，得到以下解：

• (a,b,c) = (4,15,2)
• (a,b,c) = (5,9,2)
• (a,b,c) = (6,7,2)

然後，用 C 語言寫了一個非常簡單的程式：

#include <stdio.h>

int main(void)
{
  const int n = 1000;
  for (int a = 2; a <= n; a++)
    for (int b = a; b <= n; b++)
      for (int c = b; c <= n; c++)
        if (2L*a*b*c == (a+1L)*(b+1)*(c+1))
          printf("%d,%d,%d\n", a, b, c);
}

執行結果：

2,4,15
2,5,9
2,6,7
3,3,8
3,4,5

現在我們來證明這些就是原方程的全部解。

不失一般性，假設 2 ≤ a ≤ b ≤ c，（請讀者自己思考 a 為什麼不能小於 2）則：

也就是說，a = 2 或 a = 3。

當 a = 2 時，我們有：

也就是說，當 a = 2 時，b 只能是 2, 3, 4, 5, 6 中的一個，這就唯一確定了 c 。

當 a = 3 時，同樣的論證過程可以得出 b 只能是 3 或 4，這也唯一確定了 c 。

證畢。

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