數學趣題：平面幾何（一）

對於題 7.24 (a)，存在正實數 d₀，使得當且僅當 d ≥ d₀ 時，可以作出所要求的線段。對於題 7.24 (b)，當且僅當 d ≤ d₀ 時，一根長度為 d 的細圓木能通過這個拐彎。

如上圖所示，我們有：

並且 h/a = b/w，因此 h = ab/w，將 h 代入上式，整理後得：

對於給定的正實數 a 和 b，這個函式的影像如下所示（以 a=4, b=3 為例）：

欲求這個函式的最小值，將函式 d 對自變數 w 求導：

令 d'=0，整理後得：

將第1項與第3項放在一起、第2項與第4項放在一起，提取公因子，分解因式，得：

我們得到正實數解：

於是：

將 w 和 h 的值代入第1個表示式，得：

這就是所求的 d₀ 值。這個表示式可以化簡為：

要證明上面兩個表示式相等是比較容易的，但是要從前者化簡為後者就不容易了。實際上，後者來自書上的答案：

欲證明前面的化簡是成立的，只需證明：

右邊展開，得：

左邊展開，整理後得：

其中

證畢