雷達氣象學（4）——雷達引數和雷達氣象方程

目錄

• 4.1 與脈衝相關的引數
  • 4.1.1 電磁波的波長
  • 4.1.2 脈衝重複頻率（PRF）和脈衝重複週期（PRT）
  • 4.1.3 脈衝寬度和脈衝長度
  • 4.1.4 脈衝發射功率
• 4.2 與天線相關的引數
  • 4.2.1 天線方向圖和波束寬度
  • 4.2.2 天線增益
• 4.3 雷達氣象方程
  • 4.3.1 單個目標的雷達氣象方程
  • 4.3.2 粒子群的雷達氣象方程

本篇文章將介紹雷達的幾個常用引數，並給大家看看“傳說”中的雷達氣象方程長什麼樣。

4.1 與脈衝相關的引數

4.1.1 電磁波的波長

雷達波長已經在《雷達的基本知識》那篇文章已經講過了，指的是發射電磁波的波長，是雷達的主要引數之一，一般用 \(\lambda\) 表示。雷達波長直接影響雷達的探測效能和測速範圍，如下表所示：

波段	波長	探測的氣象目標	備註
K波段	0.75～2.4cm	各種不產生降水的雲	最常用的是Ka波段
X波段	2.4～3.75cm	探測降水	作為新一代天氣雷達網的補充
C波段	3.75～7.5cm	探測降水	一般安裝在西部地區和內陸地區
S波段	7.5～15cm	探測降水，最適用於探測暴雨和冰雹	一般安裝在中、東部多雨地區和沿海地區
L波段	15～30cm	探測晴空大氣的風場	用於風廓線雷達

4.1.2 脈衝重複頻率（PRF）和脈衝重複週期（PRT）

每秒鐘產生的脈衝數目，稱為脈衝重複頻率（Pulse Repetition Frequency, PRF），單位為 Hz。相鄰脈衝之間的間隔時間，稱為脈衝重複週期（Pulse Repetition Frequency, PRT），單位為 s。顯然兩者是一個倒數關係，即：

\[\mathrm{PRF} = \frac{1}{\mathrm{PRT}} \]

脈衝週期確定了雷達的最大探測距離。這是因為，雷達是週期性地發射脈衝波的，雷達接收到回波時，會被認為是剛剛發射的脈衝波被氣象目標散射所造成的，因此位於最大探測距離上的目標的回波訊號必須在下一個脈衝波發射之前回到雷達天線。由此，我們可以得出雷達的最大探測距離 \(R_{\mathrm{max}}\) 公式：

\[R_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} \times \mathrm{PRT} \times c = \frac{1}{2} \times \frac{c}{\mathrm{PRF}} \]

式中 \(c\) 為光速。例如，711 雷達的脈衝重複頻率為 400Hz，它的最大探測距離為 300km；713 雷達的脈衝重複頻率為 200Hz，它的最大探測距離為 600km。

由上式可知，脈衝重複頻率越高的雷達，其最大探測距離越小。不過，脈衝重複頻率高的雷達，在一定時間內雷達接收到的回波訊號較多，有利於在短時間內得到比較準確的平均回波強度，同時熒光屏上顯示的回波也比較明亮清晰。

4.1.3 脈衝寬度和脈衝長度

探測脈衝持續震盪的時間稱為脈衝寬度 \(\tau\)。探測脈衝具有一定的持續時間，從而空間上有一定的長度，稱為脈衝長度 \(h\)。它們的關係如下：

\[h = \tau c \]

注意：脈衝寬度指的是一個脈衝持續多長，而脈衝重複頻率指的是一秒鐘內脈衝有多少個。

為精確測定降水區的大小和內部結構，天氣雷達通常採用較窄的脈衝寬度。脈衝寬度一般為 1us 或 2us。有的天氣雷達為了適應探測不同距離目標的需要，有幾種脈衝寬度。在探測近目標時採用較窄的脈衝寬度；在探測遠目標如晴空回波時，為增大回波訊號的強度，採用較寬的脈衝寬度（4us）。

4.1.4 脈衝發射功率

脈衝發射功率 \(P_t\) 是指發射機發射脈衝波期間產生的高頻功率，脈衝功率也叫峰值功率。脈衝功率越大，雷達接收到來自雲雨的回波就越強，且雷達可以探測距離更遠的目標。平均功率 \(\overline{P}_t\) 是指脈衝發射功率在其重複週期內的平均值，其計算公式為：

\[\overline{P}_t = \frac{P_t \times \tau}{T} \]

CINRAD/SA 的脈衝發射功率在 650～800kW 之間，脈衝峰值功率大於 750kW。

4.2 與天線相關的引數

4.2.1 天線方向圖和波束寬度

為了表示雷達天線向外輻射電波能量的方向性情況，繪製出天線方向圖。天線方向圖應該是一個以天線位置為原點的立體圖，為了便於理解，一般採用原點的縱切剖面（垂直面）和橫切剖面（水平面）表示。下圖即為縱切剖面示意圖：

可以看到，圖中水平方向的輻射最強，說明天線是被指定沿著該方向傳播的，這就是定向輻射。所謂定向輻射是相對的，實際上定向天線只是在某一方向輻射最強，在其它方向輻射能量相對較少。圖中，最大輻射能量的發射方向稱為主瓣，側面稱為旁瓣或側瓣，相反方向的稱為尾瓣。當旁瓣較多時，從最接近主瓣的開始依次稱為第一旁瓣、第二旁瓣。正因為發射的電磁波能量除了主瓣外還有旁瓣，所以在某些情況下會產生旁瓣回波，它是雜波的一種，後面文章將會介紹。

在天線方向圖上，主瓣的兩個半功率點（\(P_{\mathrm{max}} / 2\)）方向的夾角，稱為波束寬度，也就是天線主瓣的寬度，它是天線的一個重要技術引數。在垂直面上的波數寬度用 \(\theta\) 表示，水平面上的波束寬度用 \(\phi\) 表示。波束寬度決定雷達徑向探測精度，主瓣瓣寬越窄，角度解析度越高，方向性越好，探測精度越高。

CINRAD/SA 的天線直徑為 9m，波束寬度為 0.99°。

4.2.2 天線增益

天線增益是定向天線最大輻射方向上的功率密度 \(S_{\mathrm{max}}\) 和天線各向均勻輻射能量時同一距離上功率密度 \(S_{\mathrm{avg}}\) 的比值。天線增益數值越大，表示天線定向輻射的能力越強。天線增益用 \(G\) 表示，其定義式如下：

\[G = \frac{S_{\mathrm{max}}}{S_{\mathrm{avg}}} \]

除此之外，天線增益還與波束寬度存在關係：

\[G = \frac{\pi^2}{\theta \phi} \]

天線增益通常很大，一般用分貝數來表示。天線的尺寸越大，波長越短，天線增益就越高。較大的天線增益對於提高雷達探測能力和精度都是很有利的。所以，天氣雷達通常具有較大的天線。CINRAD/SA 的天線增益大於 44dB。

4.3 雷達氣象方程

在學習了前面的內容後，我們知道，雷達回波的強度取決於雷達引數，雲雨物理特性，以及其與雷達之間的距離。那如何集中反映雷達回波強弱與雷達引數、雲雨物理特性和雷達距離的關係呢？這就是雷達氣象方程要做的事情。

4.3.1 單個目標的雷達氣象方程

在此處我們就省略推導，直接給出對於單個目標的雷達氣象方程：

\[P_r = \frac{P_t G^2 \lambda ^2}{(4 \pi)^3 r^4} \]

式中，\(P_r\) 為雷達所接收的功率，\(P_t\) 為發射功率，\(\lambda\) 為電磁波的波長，\(r\) 為氣象目標和雷達的距離。可以看出，單個目標的雷達回波功率與距離成反比，隨著距離的增大，回波功率迅速減小。

上述是天線輻射強度均勻分佈時的雷達氣象方程，事實上，我們做了個假設：天線輻射強度在兩個半功率點間是均勻分佈的。但實際上分佈一般是不均勻的，為此需引入天線方向圖函式，這裡直接給出推導結果：

\[P_r = \frac{P_t G^2 \sigma \lambda ^2}{(4 \pi)^3 r^4} |f(\theta, \phi)|^4 \]

式中，\(\sigma\) 為粒子的後向散射截面，\(f(\theta, \phi)\) 即為天線方向圖函式，可以與在介紹散射理論那篇文章裡講過的方向函式作類比，天線方向圖函式也是反映天線輻射強度在波束寬度內的分佈情況。

4.3.2 粒子群的雷達氣象方程

現實情況是，雷達探測雲和雨的時候，並不是單個氣象目標，而是一群氣象目標（即粒子群）。這些粒子相對雷達的位置作不規則運動，回波存在起伏現象。因此，需要考慮粒子群的雷達氣象方程。

如果只考慮來自波束寬度 \(\theta\) 和 \(\phi\) 範圍內粒子的散射，並假定在此範圍內雷達的輻射強度是均勻的，則可得到雷達氣象方程為：

\[\overline{P}_r = \frac{P_t G^2 \lambda ^2 h \theta \phi}{512 \pi^2 r^2} \sum_{i=1}^{N} \sigma_i \]

注意，此式求得的是來自降水區的回波功率的時間平均值 \(\overline{P}_r\)。式中 \(h\) 為脈衝長度，於 4.1.3 節介紹過。

但是天線輻射功率密度一般是不均勻的，需乘以一個訂正因子 \(\frac{1}{2 \ln 2} = 0.72\)，於是上式又變為：

\[\overline{P}_r = \frac{P_t G^2 \lambda ^2 h \theta \phi}{1024(\ln 2) \pi^2 r^2} \sum_{i=1}^{N} \sigma_i \]

回憶在介紹散射那篇文章給出的雷達反射率 \(\eta\) 的定義：單位體積內全部降水粒子的雷達截面之和，因此上式可寫為：

\[\overline{P}_r = \frac{P_t G^2 \lambda ^2 h \theta \phi}{1024(\ln 2) \pi^2 r^2} \eta \]

該方程對瑞利散射和米散射均適用。