一、有重根遞推方程求解問題

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有些 遞推方程 的 特徵方程 的 特徵根 有 重根 的情況 , 特徵方程解出來的 特徵根有一部分是相等的 , 這樣就使得 通解中的常數無法獲取唯一的值 ;

參考 : 【組合數學】遞推方程 ( 通解定義 | 無重根下遞推方程通解結構定理 ) 二、無重根下遞推方程通解結構定理

在 “無重根下遞推方程通解結構定理” 章節中 , 通解要求 方程組中的 係數行列式不等於 $0$ , $\prod _{1\le i<j\le k}(q_i-q_k)\ne 0$ , 如果有兩個特徵根 $q_i,q_k$ 相等 , 則上面的 "係數行列式不等於 $0$" 便無法實現 ;

如果特徵方程有重根 , 就不能使用 “無重根下遞推方程公式求法” 進行遞推方程的求解 ;

針對有重根的遞推方程 , 需要將其 線性無關的元素 都找到 , 線性組合在一起 , 才能得到通解 ;

線性組合 : 將一個解乘以 $c_1$ , 另一個解乘以 $c_2$ , 相加之後的組合 ;

二、有重根遞推方程示例

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遞推方程 : $H(n)-4H(n-1)+4H(n-2)=0$

初值 : $H(0)=0,H(1)=1$

無重根下遞推方程求解完整過程 :

• 1 . 寫出特徵方程 :
  • ( 1 ) 遞推方程標準形式 : 寫出遞推方程 標準形式 , 所有項都在等號左邊 , 右邊是 $0$ ;
  • ( 2 ) 特徵方程項數 : 確定 特徵方程項數 , 與 遞推方程項數相同 ;
  • ( 3 ) 特徵方程次冪數 : 最高次冪是 特徵方程項數 $-1$ , 最低次冪 $0$ ;
  • ( 4 ) 寫出 沒有係數 的特徵方程 ;
  • ( 5 ) 逐位將遞推方程的係數 抄寫 到特徵方程中 ;
• 2 . 解特徵根 : 將 特徵方程的特徵根解出來 , $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
• 3 . 構造遞推方程的通解 : 構造 $c_1{q}_1^n+c_2{q}_2^n+\cdots +c_k{q}_k^n$ 形式的線性組合 , 該線性組合就是遞推方程的解 ;
• 4 . 求通解中的常數 : 將遞推方程初值代入通解 , 得到 $k$ 個 $k$ 元方程組 , 通過解該方程組 , 得到通解中的常數 ;
  • ( 1 ) 常數代入通解 : 得到最終的遞推方程的解 ;
    
    
    遞推方程 -> 特徵方程 -> 特徵根 -> 通解 -> 代入初值求通解常數

根據上述求解過程進行求解 :

1 . 特徵方程 :

( 1 ) 遞推方程標準形式 : 遞推方程已經是標準形式 ;

( 2 ) 特徵方程項數 : 與 遞推方程項數 相同 , $3$ 項 ;

( 3 ) 特徵方程次冪數 : 最高次冪是 特徵方程項數減一 , $3-1=2$ , 最低次冪 $0$ ;

( 4 ) 寫出 沒有係數 的特徵方程 : $x^2+x+1=0$

( 5 ) 逐位將遞推方程的係數 抄寫 到特徵方程中 ;

$1x^2+(-4)x+(4)1=0$

$x^2-4x+4=0$

2 . 解特徵根 : 將 特徵方程的特徵根解出來 , $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{4\pm \sqrt{16-16}}{2}=2$

兩個特徵根都是 $2$ , $q_1=2,q_2=2$ ;

3 . 構造遞推方程的通解 : 構造 $c_1{q}_1^n+c_2{q}_2^n+\cdots +c_k{q}_k^n$ 形式的線性組合 , 該線性組合就是遞推方程的解 ;

通解是 : $H(n)=c_1{2}^n+c_2{2}^n=c{2}^n$

4 . 求通解中的常數 : 將遞推方程初值代入通解 , 得到 $k$ 個 $k$ 元方程組 , 通過解該方程組 , 得到通解中的常數 ;

將 $c{2}^n$ 代入到 $x^2-4x+4=0$ 特徵方程中 , $c$ 是無解的 ;

如果 兩個特徵根 都是 $2$ , 線性相關 , 此時就 無法確定通解中的 $c_1,c_2$ 待定常數 ;

觀察 $n{2}^n$ 是解 , 該解與 $2^n$ 線性無關 , 將上述兩個解進行線性組合 ,

$c_{1}n{2}^n+c_2{2}^n$ 線性組合 , 是遞推方程的解 ,

將初值代入 , 可以解出 $c_1,c_2$ 常數的值 ;