題目

劉新宇老師前不久在“圖靈社群：同構——分紅包問題”中給出：

高個子舅舅春節回家，想給三個可愛的孩子小明、小強、小紅一些紅包用來買過年的玩具。他準備了6個紅包，每個裡面10元錢。每個小朋友肯定能得到紅包，但不一定均分。問一共有幾種發的方法。

...

作為擴充套件，這裡有一個思考題：如果可以允許有小朋友沒有得到紅包，有幾種分法？怎樣能得到優雅直觀的思路？

這個擴充套件問題是：

三個小朋友分六個紅包，共有多少種分法。

解答（方法一）

假設每個小朋友都有無數個分身，從這無數個小朋友中選出六個小朋友，每人領取一個紅包，共有

H(3, 6) = C(3+6-1, 6) = C(8, 6) = 28

種分法。這裡的 H(n, k) 表示從 n 個允許重複的物件中取出 k 個的組合數，C(n, k) 表示從 n 個物件中取出 k 個的組合數，見“圖靈社群：允許重複的組合”。

如果是 n 個小朋友分 k 個紅包，顯然共有 H(n, k) = C(n+k-1, k) 種分法。

解答（方法二）

按照劉新宇老師在他的文章的評論中給出的思路，同構到珍珠項鍊問題：

• 6 顆珍珠，7 段絲線：— o — o — o — o — o — o —

第一刀可以切在這 7 段絲線中的任何一段上，所以第一刀有 7 種切法，切完後變為 8 段絲線：

• 例如，第一刀切在第 1 段絲線上：— | — o — o — o — o — o — o —

第二刀可以切在這 8 段絲線中的任何一段上，所以第二刀有 8 種切法，切完後變為 9 段絲線：

• 例如，第二刀切在第 4 段絲線上：— | — o — o — | — o — o — o — o —

第一刀左邊的珍珠數就是小明得到的紅包數，兩刀之間的珍珠數就是小強得到的紅包數，第二刀右邊的珍珠數就是小紅得到的紅包數。在上述例子中，小明、小強、小紅得到的紅包數依次為：0, 2, 4。

由於交換第一刀和第二刀的位置得到的結果是相同的，所以共有 7 x 8 / 2 = 28 種方法。