N-S方程問題有解了？與黎曼猜想並列，千禧年數學難題勝利在望

机器之心發表於2024-04-08
這是數學中最著名的未解問題之一。新的工作已透過同行評審，全文可看。

起猛了，流體力學迎來自己的超導時刻了？
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最近幾天，數學圈內人們正在熱烈討論納維 - 斯托克斯問題的正則哈密頓公式終於出現了 —— 這個數學史上懸而未決的問題可能有了解答。而在以前，人們甚至普遍認為這是不可能的。

此事有多重要？納維 - 斯托克斯方程與黎曼猜想一樣，在 2000 年被列為「千禧年數學七大難題」。

這七個世界級難題分別是：NP 完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊 - 米爾斯存在性與質量間隙、納衛爾 - 斯托克斯方程、BSD 猜想。七個問題都被懸賞一百萬美元，20 多年來只有「龐加萊猜想」被俄羅斯天才數學家佩雷爾曼解決。

它們大多讓人耳熟能詳，但「納維 - 斯托克斯方程」（N-S 方程）在其中似乎較少被人們提及。究其原因，可能是因為這個問題實在太難以理解了（大學上過《流體力學》這門課的同學肯定會有概念）。有人甚至認為，它是數學史上最複雜的公式。

簡單來說，十八世紀數學家尤拉在《流體運動的一般原理》中根據無粘性流體運動時流體所受的力和動量變化推匯出了一組方程。
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尤拉方程的描述將流體運動規定在了一個理想化世界中，但真正的流體內部是有摩擦的。自然界中的流體都有粘性，統稱為粘性流體或實際流體。比如我們攪拌蜂蜜時會感受到粘滯的作用，而飛機飛行所受的阻力也很大程度上來源於空氣的粘性。

由於實際流體的粘性，我們對於流體運動的研究就變得非常複雜了。
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在 19 世紀，法國工程師兼物理學家克勞德 - 路易・納維、愛爾蘭物理學和數學家喬治・斯托克斯兩人考慮分子間作用力，建立了流體平衡和運動的基本方程，並描述了運動在直角座標中的分量形式。

這就是後世所說的納維 - 斯托克斯方程。
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有史以來最可怕的偏微分方程之一。

納維 - 斯托克斯方程被用於描述像液體和空氣這樣的流體物質。這些方程建立了流體的粒子動量的改變率（力）和作用在液體內部的壓力的變化和耗散粘滯力（類似於摩擦力）以及引力之間的關係。這些粘滯力產生於分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維 - 斯托克斯方程描述作用於液體任意給定區域的力的動態平衡。

對於很多工程問題來說，這至關重要。

如果納維 - 斯托克斯問題有全域性解的話，很多與流體力學有關的技術都會出現突破，包括但不限於航空航天、火箭發動機、天氣預測、管道運輸、醫療血流建模等等。

關於這組方程所涉及的難題在於：我們該如何用數學理論闡明它。甚至於用數學理論解釋描述奇特黑洞的愛因斯坦場方程都會比闡述納維 - 斯托克斯方程更簡單一些。

人們提到的重要突破來自論文《A canonical Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes problem》，於 4 月 1 日刊登在了流體力學領域頂級期刊《Journal of Fluid Mechanics》上：
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論文連結：https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/canonical-hamiltonian-formulation-of-the-navierstokes-problem/B3EB9389AE700867A6A3EA63A45E69C6

該論文提出了基於最小二乘原理推導的最小作用原理的各向同性納維 - 斯托克斯問題的新型哈密爾頓公式。該公式使用速度圖片和壓強圖片作為可變化的場量（field quantities），以及從分析中推匯出的正則共軛動量。基於此，該研究構造了滿足哈密頓正則方程的守恆哈密頓函式 H*，並針對可壓縮和不可壓縮流制定了相關的哈密頓 - 雅可比方程。這個哈密頓 - 雅可比方程將尋找四個獨立場量的問題圖片簡化成在這些場中找到單個標量泛函（scalar functional）—— 哈密頓的主泛函圖片此外，哈密頓和雅可比的變換理論為解決納維 - 斯托克斯問題提供了一個規定的方法：找到 S*。

如果可以獲得 S * 的解析表示式，那麼它將透過正則變換得到一組新的場，給出原始速度和壓力場的解析表示式，這些場將簡單等價於它們的初始值。如果做不到這一點，只能證明哈密頓 - 雅可比方程的完全解存在或不存在，那麼也將解決解的存在性問題。

這項新研究可以獲得百萬美元獎金嗎？如果獲獎，研究人員必須證明三維不可壓縮納維 - 斯托克斯方程有解，且如果有解，則這些解是平滑的。

數學家陶哲軒（Terence Tao）曾經認為，這很難。
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從目前的進度來看，新的研究已使解決開放問題變得更加容易，我們前進了一大步 —— 已經實現納維 - 斯托克斯方程的正則哈密頓量公式，可能意味著我們可以繞過標準拉格朗日量的限制，將問題簡化為尋找單個標量函式。

或許距離解決千禧年難題的第二題已經不遠了。

參考內容：
https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/navier-strokes-equation/
https://zhuanlan.zhihu.com/p/263628141
https://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard/

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