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解法一

易知：

∠EBD + ∠C = ∠EBD + ∠ABC = π

∠EBD = ∠A + ∠C

由此可得：

∠A = ∠EBD - ∠C = 2∠EBD - π

令 cos∠EBD = x，得到：

cos∠A = cos(2∠EBD - π) = 1 - cos²∠EBD = 1 - 2x²

不失一般性，令 BD = 1。 由余弦定理可得：

DE² = 1² + 1² - 2cos∠EBD = 2 - 2x

BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos∠A = 2·DE²·(1 - cos∠A) = 4x²(2-2x)

我們還有（注意：x < 0）：

由 CD = DE 可得：

整理後得到：

8x³ - 6x - 1 = 0

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我們知道：

cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ

令 θ = 5π/9, x = cosθ，則：

cos3θ = cos(2π - π/3) = 1/2 = 4x³ - 3x

整理後得到：

8x³ - 6x - 1 = 0

也就是說，cos(5π/9) 滿足上述方程。 所以 ∠EBD = 5π/9

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解法一的說明

熟悉三倍角公式的話，不難猜測出正確答案。我實際上是 用數值方法解上述三次方程並求反餘弦（注意， ∠EBD 的取值範圍是從 2π/3 到 π/2，對應的 x 值是從 -0.5 到 0）：

$ gp -q
? a=solve(x=-0.5,0,8*x*x*x-6*x-1)
-0.17364817766693034885171662676931479600
? acos(a)*180/Pi
100.00000000000000000000000000000000000

用 WolframAplpha 解上述三次方程（注意：三個根都是實根，但是用根式表示的話，必須引入虛數單位 i 才行）：

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有誰知道嗎本題的更簡單的解法嗎？

解法二

根據 TeddyZ 的評論，得到以下解法：

作 ∠DCF = ∠BAC 且 CF = AB

易知 △DCF ≌ △BAC

易知 ∠FDC = ∠ABC

所以 FD ‖ AE

因為 AE = AB - EB, BC = CD - BD

所以 BC = AE

因為 △DCF ≌ △BAC

所以 FD = BC = AE

所以 AEDF 是平行四邊形

所以 FA = DE

易知 △FCA 是等邊三角形

所以 ∠FCA = 60°

又有 ∠BAC = ∠FCD = ∠ACB - ∠FCA

所以 ∠BAC = ∠ACB - 60°

所以 ∠ACB - ∠BAC = 60°

易知 2∠ACB + ∠BAC = 180°

所以

3∠ACB = 240°

∠ACB = 80°

∠EBD = 180° - ∠ABC = 180° - ∠ACB = 180° - 80° = 100°

答案是：∠EBD = 100°